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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 14d

Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) .

d ) f x = - x 2 + 3 x

Passo 1

Primeiro vamos começar pelo esboço dessa função. Ela é uma funçãod e segundo grau, portanto a cara dela é de uma parábola. Para esboçar uma parábola precisamos determinar quatro pontos principais: as duas raíses, o ponto onde a função corta o eixo y e o vértice. Vamos lá?

Primeiro as raízes: f x = 0

- x 2 + 3 x = 0

Usando a fórmula de Bhaskara com a = - 1 ,   b = 3 ,   c = 0 temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 3 ± 3 2 - 4 . ( - 1 ) . 0 2 . ( - 1 ) = - 3 ± 3 - 2

x 1 = - 3 + 3 - 2 = 0 ; x 2 = - 3 - 3 - 2 = 3

Assim os dois primeiros pontos são: ( 0,0 ) e ( 3,0 ) .

Passo 2

Agora vamos pros outros dois? Bola lá! O ponto onde a função corta o eixo y é onde x = 0 :

f 0 = - 0 2 + 3.0 = 0

Então o ponto no qual a função cruza o eixo y é o ( 0,0 ) .

Passo 3

Por último o vértice:

x v = - b 2 a = - 3 2 . ( - 1 ) = 3 2

y v = - Δ 4 a = - 9 4 . ( - 1 ) = 9 4

Assim temos o vértice ( 3 2 , 9 4 ) . Como o coeficiente a é menor do que zero, a parábola tem boca para baixo. Juntando os quatro pontos, podemos construir o gráfico:

Beleza! Agora sim podemos analisar o sinal da função!

A função assume valores positivos quando está acima do eixo x , e valores negativos quando está abaixo.

Sendo assim temos:

f x ≤ 0 : x ≤ 0   o u   x ≥ 3

f x ≥ 0 :   0 ≥ x ≥ 3

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

f x ≤ 0 : x ≤ 0   o u   x ≥ 3

f x ≥ 0 :   0 ≥ x ≥ 3

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Seja f x = a x 2 + b x + c ,a ≠ 0 . a ) Verifique que f x = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a onde Δ = b 2 - 4 a c . b ) Mostre que se a0 , então o menor valor de f ( x ) acontece para x = - b 2 a . Qual o menor
Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) . f ) f x = x 2 + 6 x + 9
Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) . j ) f x = - x 2 + 2 x - 3
Olhando para o gráfico, estude a variação do sinal de f ( x ) . a ) f x = x 2 - 1