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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 60b

Para as retas l 1 e l 2 de equação 2 x + 3 y - 5 = 0 e 3 x + 5 y - 8 = 0 , respectivamente, use o exercício 58 e, sem achar as coordenadas do ponto de intersecção de l 1 e l 2 , encontre uma equação de reta que passe por esse ponto e seja perpendicular à reta com equação 2 x + y = 7 .

Passo 1

Podemos escrever o feixe de retas com equação

2 x + 3 y - 5 + k 3 x + 5 y - 8 = 0 ⇒

2 x + 3 y - 5 + 3 x k + 5 y k - 8 k = 0 ⇒

2 x + 3 x k + 3 y + 5 y k - 8 k - 5 = 0 ⇒

2 x + 3 x k + 3 y + 5 y k - 8 k - 5 = 0 ⇒

2 + 3 k x + 3 + 5 k y - 8 k - 5 = 0 ⇒

3 + 5 k y = - 2 + 3 k x + 8 k + 5 ⇒

y = - 2 + 3 k 3 + 5 k x + 8 k + 5 3 + 5 k       ( 1 )

Passo 2

Reescrevendo a equação desta reta temos

2 x + y = 7 ⇒

y = - 2 x + 7

Como queremos encontrar uma reta que seja perpendicular a reta acima, nossa reta deverá ter inclinação 1 2 . Assim, de (1) temos

- 2 + 3 k 3 + 5 k = 1 2 ⇒

2 + 3 k 3 + 5 k = - 1 2 ⇒

2 2 + 3 k = - 3 + 5 k ⇒

4 + 6 k = - 3 - 5 k ⇒

6 k + 5 k = - 3 - 4 ⇒

11 k = - 7

k = - 7 11

Passo 3

Substituindo este valor de k em (1) temos

2 x + 3 y - 5 - 7 11 3 x + 5 y - 8 = 0 ⇒

2 x + 3 y - 5 - 21 x 11 - 35 y 11 + 56 11 = 0 ⇒

22 x - 21 x 11 + 33 y - 35 y 11 + - 55 + 56 11 = 0 ⇒

x 11 - 2 y 11 + 1 11 = 0 ⇒

x - 2 y + 1 = 0 ⇒

2 y = x + 1 ⇒

y = x 2 + 1 2

Resposta

Portanto, a reta que passa pelo ponto de intercessão de l 1 e l 2 e é perpendicular a reta de equação 2 x + y = 7 é y = x 2 + 1 2

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