Seja g(x) = x \* e^(x) - e^(x) . Encontre f(x) , tal que f'(x) = g'(x) e f(1) = 2 .

Passo 1

Falou que f ' x = g ' ( x ) , a gente já lembra logo do Teorema da Diferença Constante, que diz que quando isso acontece, temos que:

f x - g x = k

Para qualquer valor de x .

Vamos usar essa informação para achar f ( x ) .

Passo 2

Reparar uma coisinha. Se f x - g x = k

Para todo x . Então, também vale para x = 1 :

f 1 - g 1 = k

Repara outra coisinha. Temos o valor de f ( 1 ) e podemos achar g ( 1 ) , por isso conseguimos achar k :

2 - e 1 - e 1 = k = 2

Agora é só voltar para f x - g x = k     e substituir k = 2 e g x , para achar f ( x ) :

f x - x e x - e x = 2 ∴ f x = 2 + x e x - e x

Resposta

f x = 2 + x e x - e x

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