Enunciado

Desenhe o gráfico da função definida em [0, 8] que tenha f 0 = 1 e f 8 = 4 e que a função não satisfaça à conclusão do teorema do valor médio em [0, 8].

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando. Bom, ele nos pede para desenhar o gráfico da função com aquelas especificações que não obedeça ao teorema do valor médio.

Para desenhar o gráfico de uma função que satisfaça as condições fornecidas e não satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo 0,8 , podemos construir uma função que seja descontínua ou com uma descontinuidade em algum ponto dentro do intervalo.

Uma forma de fazer isso é criar uma função composta que consiste em duas partes: uma função linear que representa uma inclinação constante de 0   a   x = 4 , e outra função linear que representa uma inclinação diferente de ( x   =   4 )   a   ( x   =   8 ) .

Passo 2

Vamos definir a função dessa maneira:

- Para 0 ≤   x   <   4 , usaremos uma função linear que conecta os pontos ( 0,1 )   e   ( 4 , a )   , onde a é um valor que pode variar.

- Para 4 ≤   x ≤   8 , usaremos outra função linear que conecta os pontos ( 4 , a )   e   ( 8,4 ) .

Dessa forma, a função será descontínua em ( x   =   4 ) , o que viola a condição para o Teorema do Valor Médio.

Vamos desenhar o gráfico dessa função. Vou usar ( a   =   2 ) como exemplo, mas você pode ajustar esse valor conforme desejar:

- Para 0 ≤   x   <   4 :   f ( x )   = 3 4 x   +   1

- Para 4 ≤   x ≤   8 :   f x = 1 2 x   +   2

Passo 3

Como o enunciado pediu para que a conclusão não fosse respeitada, então não podemos ter um ponto com que sua tangente seja paralela ao eixo que liga os valores dos extremos.

Neste gráfico, a função é uma linha reta de 0,1   a   4,2 , e então de 4,2   a     8,4 . Essa função não satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio no intervalo 0,8 devido à descontinuidade em ( x   =   4 ) .

Resposta

Vide a explicação.

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