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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 23

Revendo o Exemplo 6 Calcule a integral

∫ ( 1,1.1 ) ( 2,3 , - 1 )   y d x + x d y + 4 d z

do Exemplo 6, encontrando equações paramétricas para o segmento de reta de ( 1,1 , 1 ) a ( 2,3 , - 1 ) e calculando a integral de linha de F = y i + x j + 4 k ao longo do segmento. Uma vez que F é conservativo, a integral é independente do caminho.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para este exercício será necessário calcular a integral de linha ∫ ( 1,1 , 1 ) ( 2,3 , - 1 )   y d x + x d y + 4 d z ao longo do seguimento de reta de ( 1,1 , 1 ) a ( 2,3 , - 1 ) .Para isso, utilize a descrição teórica da página 372 e 373 .

Passo 2

Inicialmente você deve encontrar o vetor posição ao longo do caminho de ( 1,1 , 1 ) a ( 2,3 , - 1 ) :

r → = r → 0 + r → ( t ) = ( i → + j → + k → ) + [ ( 2 i + 3 j - k ) - ( i + j + k ) ] t r → = ( i → + j → + k → ) + ( i + 2 j - 2 k ) t = ( 1 + t ) i → + ( 2 + 2 t ) j → + ( 1 - 2 t ) k → ,  com  0 ≤ t ≤ 1

Em seguida, você deve expressar tudo em termos do parâmetro t .Assim, você vai observar que: x = 1 + t , y = 1 + 2 t , z = 1 - 2 t . 

Passo 3

Dessa forma, definimos d x = d t , d y = 2 d t , d z = - 2 d t .Quando você for substituir os novos valores de x , y , z e d x , d y , d z em ∫ ( 1,1 , 1 ) ( 2,3 , - 1 )   y d x + x d y + 4 d z , teremos o seguinte resultado:

∫ 0 1   ( 2 t + 1 ) d t + ( t + 1 ) 2 d t + 4 ( - 2 ) d t = ∫ 0 1   ( 4 t - 5 ) d t = 2 t 2 - 5 t 0 1 = - 3

Resposta

Resposta nos passos.

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