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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 28

Nos Exercícios 27 e 28, encontre uma função potencial para F

F = e x l n ⁡ y i + e x y + s e n ⁡ z j + ( y c o s ⁡ z ) k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Lembre-sel Definimos um campo F → como conservativo se F → for um campo gradiente ∇ ‾ f para uma função derivável f .

Passo 2

Observe! Seja o campo F → = e x l n ⁡ y i → + e x y + s e n ⁡ z j → + ( y c o s ⁡ z ) k → = ∇ → f Se ∂ P ∂ y = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = ∂ M ∂ y

∂ P ∂ y = c o s ⁡ z = ∂ N ∂ z , ∂ M ∂ z = 0 = ∂ P ∂ x , ∂ N ∂ x = e x y = ∂ M ∂ y

Assim, ∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Passo 3

Dessa forma, podemos escrever que:

∂ f ∂ x = e x l n ⁡ y , ∂ f ∂ y = e x y 2 + s e n ⁡ z , ∂ f ∂ z = y c o s ⁡ z

Você vai obter as seguintes equações, assim temos que:Se ∂ f ∂ x = e x l n ⁡ y então f = ∫ e x l n ⁡ y d x + g ( y , z ) = e x l n ⁡ y + g ( y ,Se ∂ f ∂ y = e x y 2 + ∂ g ∂ y = e x y 2 + s e n ⁡ z então d g d y = s e n ⁡ z Se d g d y = s e n ⁡ z então g = ∫ s e n ⁡ z d y = y s e n ⁡ z + h ( z ) Se ∂ f ∂ z = y c o s ⁡ z + d h d z = y c o s ⁡ z então d h d z = 0 e h = C

Passo 4

Com isso, podemos concluir que o resultado será:

f ( x , y ) = e x l n ⁡ y + y s e n ⁡ z + C E   F → = ∇ → e x l n ⁡ y + y s e n ⁡ z

Resposta

f ( x , y ) = e x l n ⁡ y + y s e n ⁡ z + C E   F → = ∇ → e x l n ⁡ y + y s e n ⁡ z

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