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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 18

Ainda que eles não estejam definidos em todo o espaço R3, os campos associados com os Exercícios 18-22 são simplesmente conexos

e o teste dos componentes pode ser utilizado para mostrar que eles

são conservativos. Encontre uma função potencial para cada campo

e calcule as integrais no Exemplo 6.

∫ ( 0,2 , 1 ) ( 1 , π / 2,2 )   2 c o s ⁡ y d x + 1 y - 2 x s e n ⁡ y d y + 1 z d z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta solução considere o campo associado a integral, estabelecido no enunciado, ∫ ( 0,2 , 1 ) ( 1 , π / 2,2 )   2 c o s ⁡ y d x + 1 y - 2 x s e n ⁡ y d y + 1 z d z conservativo, existe uma função f com ∇ ‾ f = F ‾ sendo f uma função potencial.

Passo 2

O primeiro passo é o seguinte. Acompanhe!Se 2 c o s ⁡ y d x + 1 y - 2 x s e n ⁡ y d y + 1 z d z é exata, temos que 2 c o s ⁡ y d x + 1 y - 2 x s e n ⁡ y d y + 1 z d z = d f para alguma função f e o valor da integral é f ( 1 , π / 2,2 ) - f ( 0,2 , 1 ) . Encontraremos f a menos de uma constante integrando as equações ∂ f ∂ x = 2 c o s ⁡ y , ∂ f ∂ y = 1 y - 2 x s e n ⁡ y , ∂ f ∂ z = 1 z

Passo 3

Assim, a partir da primeira equação, obteremos:

f = 2 x c o s ⁡ y + g ( y , z )

Na segunda equação, teremos que: ∂ f ∂ y = - 2 x seny + ∂ g ∂ y = 1 y - 2 x seny, o que implica que ∂ g ∂ y = 1 y Descobrimos então que g é: g ( y , z ) = l n ⁡ | y | + h ( z ) Assim você encontrará que f ( x , y , z ) = 2 x c o s ⁡ y + l n ⁡ | z | + h ( z ) Da última equação temos que ∂ f ∂ z = 1 z = d h d z , o que implica que d h d z = 1 z e, portanto h = l n ⁡ | z | + C .Temos então que f ( x , y , z ) = 2 x c o s ⁡ y + l n ⁡ | y | + l n ⁡ | z | + C

Passo 4

E chegamos então a resolução da questão que será a seguinte Integral:

  ∫ ( 0,2 , 1 ) ( 1 , π / 2,2 )     2 c o s ⁡ y d x + 1 y - 2 x s e n ⁡ y d y + 1 z d z = f ( 1 , π / 2,2 ) - f ( 0,2 , 1 ) =   = 2.0 + l n ⁡ π 2 + l n ⁡ 2 - ( 0 ⋅ c o s ⁡ 2 + l n ⁡ 2 + l n ⁡ 1 ) = l n ⁡ π 2

Resposta

Resposta nos passos.

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9. Seja D a região do plano xy limitada pelas circunferências C 1 e C 2 de equações x 2 + y 2 = 1 E x 2 + y 2 = 25 Respectivamente. Se F 1 x , y e F 2 x , y são de classe C 1 em D e ∂ F 2 ∂ x = ∂ F 1
10. Calcule ∮ c - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y Onde C é a curva definida por y 2 = 2x + 2 - 2 ≤ x ≤ 2 orientada no sentido descrente de y
Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y . a ) Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho. b ) Calcule o valor da integral de A = 0 ,0 a B =
Calcule ∮ C y x 2 d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde C é a curva dada pela equação x 2 4 + y - 1 3 2 = 1 , percorrida no sentido anti-horário.