Nos Exercícios 67 e 68, defina f (0, 0) de maneira que f se estenda a uma função contínua na origem.

f(x, y) = ln( (3x^2 - x^2*y^2 + 3y^2) / (x^2 + y^2) )

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos verificar se os limites existem!

lim x , y → 0,0 ⁡ ln ⁡ 3 x 2 - x 2 y 2 + 3 y 2 x 2 + y 2

Vamos substituir x por r cos ⁡ θ e y por r s e n   θ para simplificar,

lim r → 0 ⁡ ln ⁡ 3 r cos ⁡ θ 2 - r cos ⁡ θ 2 r sen ⁡ θ 2 + 3 r sen ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2

lim r → 0 ⁡ ln ⁡ 3 r 2 cos ⁡ θ + r 2 s e n 2   θ - r 4 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2

Da relação fundamental da trigonometria, r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = r 2

lim r → 0 ⁡ ln ⁡ 3 r 2 - r 4 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ r 2

lim r → 0 ⁡ ln ⁡ 3 - r 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ = ln ⁡ 3

Resposta

f(0,0) é definido como ln ⁡ 3 .

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