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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 15

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.

t y ″ - 1 + t y ' + y   =   t 2 e 2 t ,     t > 0 ;   y 1 t = 1 + t ,   y 2 ( t ) = e t

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. y ' ' + λ y = g ( t )        

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Passo 2

Sabendo que nossa equação é :

t y ″ - 1 + t y ' + y   =   t 2 e 2 t

Dividindo tudo por t :

y ″ - 1 + t t y ' + 1 t y   =   t e 2 t

Passo 3

Se:

y 1 t = 1 + t       e       y 2 ( t ) = e t

As derivadas serão:

y 1 ' t = 1

y 2 t = e t

Então, o Wronskiano pode ser dado por:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = 1 + t e t 1 e t = e t + t e t - e t = t e t

Passo 4

Aplicando as fórmulas do passo 1, podemos calcular também y 1 u 1 e y 2 u 2 :

Onde u 1 é dado por:

y 1 u 1 t = - 1 + t ∫ e t . t e 2 t t e t d t = - 1 + t ∫ e 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = e t ∫ 1 + t t e 2 t t e t d t = e t ∫ t + 1 e t d t

Se:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Então:

Y t = - 1 + t ∫ e 2 t d t + e t ∫ t + 1 e t d t

Y t = - 1 + t 2 e 2 t + e t ( t e t )

Se t e t pertence a solução homogênea:

Y t = 1 2 t - 1 e 2 t

Resposta

Y t = 1 2 t - 1 e 2 t

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