Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.7 - Ex. 52
São dadas uma função e um intervalo fechado . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de dado. Se o teorema for aplicável, ache um número tal que . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta .
Passo 1
Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função deve ser contínua no intervalo fechado . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo entre e existirá um tal que .
Devemos então verificar se é contínua e se está entre e . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar tal que .
A função é contínua em todos os pontos de seu domínio. Vamos achar o domínio de :
Como o intervalo está inteiramente contido entre e , é contínua nele! Além disso, e . Assim, está entre e , de modo que vale o teorema.
Passo 2
Como o teorema é válido, vamos procurar o valor de fazendo :
Como não está no intervalo mas o está, temos que
Passo 3
O gráfico de nesse intervalo e da reta :
Resposta
O TVI é aplicável e .