São dadas uma função f e um intervalo fechado [a, b] . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f(c) = k . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta y = k .

f(x) = -raiz(100 - x^2); [a, b] = [0, 8]; k = -8

Passo 1

Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função f deve ser contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo k entre f ( a ) e f ( b ) existirá um c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k .

Devemos então verificar se f é contínua e se k está entre f ( a ) e f ( b ) . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar c tal que f c = k .

A função f x = - 100 - x 2 é contínua em todos os pontos de seu domínio. Vamos achar o domínio de f :

100 - x 2 ≥ 0 ⇒ - 10 ≤ x ≤ 10

Como o intervalo [ 0 ,   8 ] está inteiramente contido entre - 10 e 10 , f é contínua nele! Além disso, f 0 = - 10 e f 8 = - 6 . Assim, k = - 8 está entre f ( 0 ) e f ( 8 ) , de modo que vale o teorema.

Passo 2

Como o teorema é válido, vamos procurar o valor de c fazendo f c = k = - 8 :

- 100 - c 2 = - 8 ⇒ 100 - c 2 = 64 ⇒ c = ± 6

Como - 6 não está no intervalo [ 0 ,   8 ] mas o + 6 está, temos que

c = 6

Passo 3

O gráfico de f nesse intervalo e da reta y = - 8 :

Resposta

O TVI é aplicável e c = 6 .

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