Exercícios de Teorema do Valor Intermediário - Lista de Exercícios Resolvida

Seja uma função contínua em ℝ tal que e , e seja . A função composta possui duas raízes negativas distintas. Determine intervalos abertos disjuntos contendo cada uma dessas raízes.

A partir dos gráficos abaixo, justifique, se para cada função:

1. A tese do Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.
2. A hipótese Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.

Obs: A tese pode ser interpretada como o “resultado” de um teorema. A hipótese pode ser interpretada como a “condição” para que o teorema funcione.

a):

b):

c):

Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos , a função tenha sinais contrários, f não é contínua no intervalo e

a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

Mostre que os gráficos de e têm interseção em pelo menos um ponto do intervalo

Mostre que a equação possui três soluções no intervalo

Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

Se e são números positivos, prove que a equação abaixo possui no mínimo uma solução no intervalo (-1, 1)

Determine um intervalo de amplitude , no qual está localizado pelo menos um zero da função.

Utilizando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) justifique que a equação

possui uma solução não nula.

Questão 1.1: Seja uma função contínua tal que , , , e . Considere as seguintes afirmações:

(a) A reta se intersepta com o gráfico de exatamente vezes.

(b) A reta se intersepta com o gráfico de pelo menos vezes.

(c) A reta se intersepta apenas uma vez com o gráfico de .

(d) A reta não se intersepta com o gráfico de .

Considere a função dada por

Mostre que existe tal que . (Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário).

Sejam e dadas por

Onde e são constantes reais positivas.

Prove que tem pelo menos uma raiz no intervalo .

Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos e a função tem sinais contrários, não é contínua no intervalo e a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

Considere as alternativas abaixo:

1. Se é contínua em e e então, pelo Teorema do Valor Intermediário, para todo no intervalo .
2. Se é contínua no intervalo e , então existe tal que .

É verdadeira ou são verdadeiras:

1. Somente a afirmativa (II)
2. Nenhuma das afirmativas.
3. Somente a afirmativa (I).
4. As afirmativas (I) e (II).

3. Mostre que a função possui, pelo menos, uma raiz real.

Mostre que a equação tem raiz no intervalo

Verifique que a equação possui pelo menos alguma solução para um positivo.

Nos modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleração da gravidade na superfície da terra é constante igual a 9,8 m/s². Na verdade, g é função da latitude que, medida em graus, é dada pela seguinte fórmula:

Mostre que existe um tal que

23- Prove que a equação possui uma solução no intervalo , onde é a constante de Euler.

21- Mostre que a função possui uma raiz no intervalo .

22- Seja e . Mostre que existe tal que .

Mostre que a função

assume o valor no intervalo .

Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Sobre a equação , é correto afirmar:

1. Admite solução no intervalo .
2. Não admite solução real.
3. Admite solução no intervalo .
4. Admite solução no intervalo
5. Admite solução no intervalo .

Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos e a função tem sinais contrários, não é contínua no intervalo e a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

Mostre que os gráficos de e tem interseção em pelo menos um ponto do intervalo .

Determine um intervalo de amplitude , no qual está localizado pelo menos um zero da função.

Questão 4:

Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação tem uma solução no .

Calcule o limite abaixo

Use o Teorema do Valor intermediário para mostrar que a equação tem uma solução no intervalo .

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

tem pelo menos uma raiz real.

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

possui uma solução positiva.

5. Seja uma função contínua que satisfaz , e . Para qual dos valores abaixo a equação possui, com certeza, pelo menos duas raízes reais distintas.

28) Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos e a função tem sinais contrários, não é contínua no intervalo e a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manha e segue sua caminhada

usual ate o topo da montanha, chegando lá as 7 horas da noite. Na manhã seguinte ele parte

do topo as 7 horas da manha e, andando pelo mesmo caminho, chega no monastério as 7

horas da noite. Mostre que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente

na mesma hora do dia em ambas caminhadas.

Q05) Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação

Tem uma solução no intervalo . Relembre que

Seja uma função contínua no intervalo e suponha que e possuam sinais opostos. Sabemos pelo Teorema do Anulamento que possui pelo menos uma raiz no intervalo . Descubra uma estratégia que possa ser implementada em um computador para encontrar essa raiz.

26) Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

27) Mostre que os gráficos de e têm intersecção em pelo menos um ponto do intervalo .

30) Se uma função muda de sinal quando varia de um ponto para o ponto , existirá obrigatoriamente um ponto entre e onde a função se anula? Justifique sua resposta.

25) Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

29) Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos e tem sinais contrários, não é contínua no intervalo e a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

Seja a função . Determine os valores de que satisfaz o Teorema do Valor Médio.

Dados e o intervalo fechado . Usando o Teorema do Valor Intermediário mostre que existe pelo menos um valor entre e tal que .

A equação

não tem raízes reais.

tem pelo menos três raízes reais.

: tem exatamente uma raiz real negativa, mas não tem uma raiz real positiva.

tem exatamente uma raiz real positiva, mas não tem uma raiz real negativa.

tem exatamente duas raízes reais.

24) Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

C3. A função satisfaz e , isto é, e possuem sinais opostos. É possível usar o Teorema do Anulamento para concluir que possui uma raiz no intervalo (−1, 1)?

Determine o valor de para que a equação admita uma única raiz real.

Seja um intervalo. Mostre que se é uma função contínua que não se anula no intervalo então ou para todo ou para todo .

A temperatura T (em °C) na qual a água ferve é dada aproximadamente pela fórmula

Onde h é a altitude (em metros acima do nível do mar). Mostre que a água ferve a 98°C a uma altitude entre 4000 e 4500 metros.

Se uma função muda de sinal quando varia de um ponto para o ponto , existirá obrigatoriamente um ponto entre e onde a função f se anula? Justifique sua resposta.

5. Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação

Possui pelo menos uma solução real.

3. Uma função satisfaz as seguintes propriedades:

• e
• é estritamente crescente em e
• é uma função par

d. Supondo que seja contínua no intervalo , ela teria alguma raiz nesse intervalo? Justifique.

Use o TVI para mostrar que a equação

possui pelo menos duas soluções. Estime estas soluções com casas decimais.

Faça o que se pede:

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

Possui ao menos uma solução não-nula.

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação

Tem pelo menos uma raiz no intervalo

Determine um intervalo de amplitude , no qual está localizado pelo menos um zero da função.

Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equaç ao

tem uma solução no intervalo

Seja a função

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação admite

ao menos três soluções reais.

Seja , onde e são dados. Calcule os limites no infinito e, em seguida, use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que possui pelo menos uma raiz. O que se pode dizer se ?

Determine:

Um intervalo de comprimento igual a que contém uma raiz de

Usando o Teorema do Valor Intermediário, mostre que a equação

Possui uma raiz no intervalo

4. Mostre que a função possui, pelo menos, uma raiz real no intervalo .

7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(a) , para todos .

7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(b) , para todos , com e .

7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(c) , para todos , com e .

7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(d) , para todos , com .

7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(f) , para todos com .

7.18. Seja uma função derivável no intervalo tal que e , para todo . Mostre que , para todos .

7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(e) , para todos , com .

Mostre que a equação possui uma raiz real entre e .

C2. Classifique cada item abaixo como verdadeiro ou falso.

a) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível concluir que a função

possui pelo menos uma raiz real no intervalo .

b) Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível concluir que a função

possui pelo menos uma raiz real no intervalo .

c) Seja . Pelo Teorema do Valor Intermediário, é possível concluir que existe ∈ [0,4] tal que .

d) A função possui, pelo menos, uma raiz real.

e) Toda função contínua possui, pelo menos, uma raiz real.

Seja uma função tal que , para todo no intervalo Calcule e .

Seja uma função tal que para todo . Calcule

Sejam tais que e , para todo . Calcule

Sejam o círculo de raio e centro em e , o círculo de raio , , e centro em . Sejam ainda o ponto e o ponto de intersecção dos círculos e situado no primeiro quadrante.

Se é a intersecção da reta com o eixo , o que acontecerá com , quando encolher arbitrariamente?

Para que valores de a equação tem três soluções reais distintas?