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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.12 - Ex. 9

9. Se u e v são funções de x e y , de classe C 2 e satisfazem as equações de Cauchy-Riemman ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y e ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x , mostre que u e v são harmônicas.

Passo 1

Antes de começar, vamos lembrar o que significa um função ser harmônica. Uma função f é harmônica se satisfaz:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

A idéia da demonstração é calcular as derivadas e usar o fato de que as funções u e v são de classe C 2 para utilizar a propridade ∂ u ∂ y ∂ x = ∂ u ∂ x ∂ y .

Vamos começar derivando as equações iniciais em relação a x e a y para ter uma idéia de onde e o que devemos substituir para verificar a identidade.

Derivando com relação a x :

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y → ∂ 2 u ∂ x ∂ x = ∂ 2 v ∂ x ∂ y ↔ ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x

E

∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x → ∂ 2 u ∂ x ∂ y = - ∂ 2 v ∂ x ∂ x ↔ ∂ 2 u ∂ y ∂ x = - ∂ 2 v ∂ x 2

Derivando com relação a y :

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y → ∂ 2 u ∂ y ∂ x = ∂ 2 v ∂ y ∂ y ↔ ∂ 2 u ∂ x ∂ y = ∂ 2 v ∂ y 2

E

∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x → ∂ 2 u ∂ y ∂ y = - ∂ 2 v ∂ y ∂ x ↔ ∂ 2 u ∂ y 2 = - ∂ 2 v ∂ x ∂ y

Agora utilizando o fato de que ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x e ∂ 2 u ∂ y 2 = - ∂ 2 v ∂ x ∂ y , e usando as propriedades das derivadas mistas para funções de classe C 2 , temos que:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ 2 v ∂ y ∂ x + - ∂ 2 v ∂ x ∂ y = ∂ 2 v ∂ x ∂ y - ∂ 2 v ∂ x ∂ y 0

O caso para a equação ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 é análogo.

Resposta

Demonstração acima.

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Determine as derivadas parciais indicadas f x , t = x 2 e - c t f t t t e f t x x