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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.12 - Ex. 10

10- Seja u x ,   y = f x - a y + g ( x + a y ) , onde a é uma constante real e f e g são funções quaisquer de uma variável real, deriváveis até segunda ordem. Verifique que

∂ 2 u ∂ y 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2

Passo 1

Galera, vamos calcular primeiro ∂ 2 u ∂ y 2 :

∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ u ∂ y ∂ u ∂ y

Assim,

∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ u ∂ y ( f ´ x - a y - a )

= f ´ ´ x - a y - a ( - a )

= f ´ ´ x - a y ( a 2 )

Passo 2

Agora, vamos calcular a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 :

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ x

Assim,

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ u ∂ x ( f ´ x - a y 1 )

= f ´ ´ x - a y

Multiplicando por a 2 , temos:

a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = f ´ ´ x - a y ( a 2 )

E não é que deu o mesmo resultado de lá de cima ?!

Resposta

Demonstração acima.

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