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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 68

Determine a derivada parcial indicada.

z = u   v - w

∂ ³ z ∂ u   ∂ v   ∂ w

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais, vamos lá!

A questão nos dá uma função z e pede para que encontremos uma derivada parcial específica, nesse caso de terceira ordem. Relembrando: Para calcular uma derivada parcial em uma variável tratamos as demais como constante e derivamos normal. A diferença para esse caso é que buscamos uma derivada de terceira ordem, ou seja, vamos precisar derivar três vezes, seguindo a ordem do “denominador” da derivada!

Passo 2

Veja que a questão nos pede

∂ ³ z ∂ u   ∂ v   ∂ w

E para chegarmos nesse resultado devemos seguir a seguinte cronologia:

∂ z ∂ w →   ∂ ² z ∂ v   ∂ w →   ∂ ³ z ∂ u   ∂ v   ∂ w

Ou seja, vamos derivar a função z em w , v e u , respectivamente.

Seja a função z

z = u   v - w

Encontrando a derivada em w (tratando as demais variáveis como constantes) usando a regra da cadeia

∂ z ∂ w = d ( u x ) d x ⋅ d ( v - w ) d w  

∂ z ∂ w = - u 2 v - w

Passo 3

Prosseguindo, agora derivando a nossa nova função em relação a v (Novamente, tratando as demais como constantes)

∂ ² z ∂ v ∂ w = d - u 2 x d x ⋅ d ( v - w ) d v

∂ ² z ∂ v   ∂ w = - u - 1 2 1 2 ( v - w )     3 2

∂ ² z ∂ v   ∂ w = u 4 ( v - w )     3 2

E por fim, derivando em relação a u e tendo a mesma atenção de antes:

∂ ³ z ∂ u   ∂ v   ∂ w =   1 4 ( v - w )     3 2

Resposta

∂ ³ z ∂ u   ∂ v   ∂ w =   1 4 ( v - w )     3 2

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