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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 17

Se f ( x ) e g ( x ) são periódicas de período T , prove que:

  1. h x = f x + g ( x ) tem período T .
  2. h x = f x ⋅ g ( x ) é periódica de período T .
  3. h x = f x g ( x ) ,   g x ≠ 0   ∀   x é periódica de período T .

Passo 1

Pessoal, a gente pode falar que uma função f ( x ) é periódica se existe um número T ≠ 0 tal que f x + T = f ( x ) para todo valor de x que pertence ao domínio de f . O número T é chamado período da função f ( x ) . Então,

  • Se f x é periódica de período T temos que existe um número real T ≠ 0 tal que f x + T = f ( x ) para todo x ∈ D ( f ) .
  • Se g x é periódica de período T temos que existe um número real T ≠ 0 tal que g x + T = g ( x ) para todo x ∈ D ( g ) .
  1. h x = f x + g x = f x + T + g x + T = h ( x + T ) para o número real T ≠ 0 com x ∈ D ( f + g ) . Portanto h x = f x + g ( x ) é periódica de período T .

  2. h x = f x ⋅ g x = f x + T ⋅ g x + T = h ( x + T ) para o número real T ≠ 0 com x ∈ D ( f ⋅ g ) . Portanto h x = f x ⋅ g ( x ) é periódica de período T .

  3. h x = f x g ( x ) = f x + T g ( x + T ) = h ( x + T ) , g x + T ≠ 0 para o número real T ≠ 0 com x ∈ D f g . Portanto h x = f ( x ) / g ( x ) é periódica de período T .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dê o domínio e esboce o gráfico. h )h x = 1 3 x + 5 3
Dê o domínio e esboce o gráfico. j )g x = x ,s ex ≤ 2 3 ,s ex2
Dê o domínio e esboce o gráfico. o )h x = x 2 - 1 x - 1
Dê o domínio e esboce o gráfico. n )f x = | x + 2 |