Se f(x) e g(x) são periódicas de período T , prove que:

  1. h(x) = f(x) + g(x) tem período T .
  2. h(x) = f(x) \* g(x) é periódica de período T .
  3. h(x) = f(x) / g(x), g(x) != 0 ∀ x é periódica de período T .

Passo 1

Pessoal, a gente pode falar que uma função f ( x ) é periódica se existe um número T ≠ 0 tal que f x + T = f ( x ) para todo valor de x que pertence ao domínio de f . O número T é chamado período da função f ( x ) . Então,

  • Se f x é periódica de período T temos que existe um número real T ≠ 0 tal que f x + T = f ( x ) para todo x ∈ D ( f ) .
  • Se g x é periódica de período T temos que existe um número real T ≠ 0 tal que g x + T = g ( x ) para todo x ∈ D ( g ) .
  1. h x = f x + g x = f x + T + g x + T = h ( x + T ) para o número real T ≠ 0 com x ∈ D ( f + g ) . Portanto h x = f x + g ( x ) é periódica de período T .
  2. h x = f x ⋅ g x = f x + T ⋅ g x + T = h ( x + T ) para o número real T ≠ 0 com x ∈ D ( f ⋅ g ) . Portanto h x = f x ⋅ g ( x ) é periódica de período T .
  3. h x = f x g ( x ) = f x + T g ( x + T ) = h ( x + T ) , g x + T ≠ 0 para o número real T ≠ 0 com x ∈ D f g . Portanto h x = f ( x ) / g ( x ) é periódica de período T .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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