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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 15

Dada a função y = f x = x 1 + x 2 definida para todo x real, demonstrar que a sua inversa é a função x = g y = y 1 - y 2 definida para y < 1 .

Passo 1

Galerinha, nessa questão queremos demonstrar que a inversa de f ( x ) é x = g y = y 1 - y 2 ! Então, vamos começar isolando x lá na função. Assim,

y 1 + x 2 = x

Vamos elevar ao quadrado dos dois lados da equação:

y 2 1 + x 2 = x 2

x 2 y 2 + y 2 = x 2

x 2 y 2 - 1 = - y 2

x 2 = y 2 1 - y 2

x = y 2 1 - y 2

x = y 1 - y 2

Uma raiz quadrada deve ser sempre maior ou igual a zero. Nesse caso, como a raiz quadrada está no denominador de uma fração, ela não pode ser igual a zero. Portanto,

1 - y 2 > 0

Podemos reescrever da seguinte maneira

1 - y 1 + y > 0

- 1 < y < 1   o u   y < 1

Chegamos ao final da demonstração!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Cada um dos exercícios 19-24 apresenta a fórmula de uma função y = f ( x ) e mostra os gráficos de f e f - 1 . Determine uma fórmula para f - 1 em cada caso.
b) Mostre que a função f é sua própria inversa.
Cada um dos exercícios 25-34 fornece uma fórmula para uma função y = f ( x ) . Em cada caso, determine f - 1 ( x ) e identifique o domínio e a imagem de f - 1 . Para conferir, mostre que f f - 1 x = f
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