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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Questões para guiar sua revisão - Ex. 23

Quais são os fatos básicos sobre:

a. somas, diferenças e produtos de séries de potências?

b. substituição de uma função por x em uma série de potências?

c. derivação termo a termo de séries de potências?

d. integração termo a termo de séries de potências?

Dê exemplos.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Suponhamos a séries A x = ∑ n = 0 ∞ a n x n e B x = ∑ n = 0 ∞ b n x n que convergem absolutamente para x < R .

(a)

Vamos considerar que

c n = a 0 b n + a 1 b n - 1 + a 2 b n - 2 + … + a n b 0 = ∑ k = 0 n a k b n - k

Já uma série de potências sobre x = a é da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n = c 0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - a ) 2 + … + c n ( x - a ) n + …

Daí, temos que:

∑ n = 0 ∞ ( a n ± b n ) x n converge absolutamente para A x + B ( x ) para x < R .

∑ n = 0 ∞ ( a n ∙ b n ) x n converge absolutamente para A x ∙ B ( x ) para x < R .

(b)

Suponhamos que f ( x ) seja uma função contínua para x < R então ∑ n = 0 ∞ a n ( f ( x ) ) n converge absolutamente para f ( x ) < R .

Exemplo - Nós sabemos que:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + … + x n + … = ∑ n = 0 ∞ x n  

converge absolutamente no intervalo aberto - 1 < x < 1 . Vamos considerar a função contínua

f x = 4 x 2 . Assim, temos que:

1 1 - 4 x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( 4 x 2 ) n

que converge absolutamente para 4 x 2 < 1 ou x < 1 2 .

Passo 2

(c)

Suponhamos que ∑ d n ( x - a ) n tem raio de convergência R   >   0 , isso define a função f x = ∑ n = 0 ∞ d n ( x - a ) n   no intervalo a - R < x < a + R .

Essa função f tem derivadas de todas as ordens no intervalo [ a - R , a + R ] e essas derivadas são obtidas por diferenciação da série original termo a termo:

f ' x = ∑ n = 0 ∞ n d n ( x - a ) n - 1

f ' ' x = ∑ n = 0 ∞ n ( n - 1 ) d n ( x - a ) n - 2

e ambas convergem para a - R < x < a + R .

Exemplo: Note que podemos encontrar a série de potência que representa a função 1 ( 1 - x ) 2 a partir da série de potência 1 1 - x . Veja que:

f x = 1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + … + x n + …

converge para - 1 < x < 1 . Por diferenciação, temos:

f ' x = 1 1 - x 2 = 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + … + n x n - 1 + … = ∑ n = 0 ∞ n x n - 1

(d)

Suponhamos que ∑ d n ( x - a ) n tem raio de convergência R   >   0 , isso define a função f x = ∑ n = 0 ∞ d n ( x - a ) n   no intervalo a - R < x < a + R .

Então podemos integrar a série de potências termo a termo ao longo de seu intervalo de convergência.

∫ f x d x = ∑ n = 0 ∞ d n x - a n + 1 n + 1

que converge para - 1 < x < 1 .

Exemplo - Note que podemos encontrar a série de potência que representa a função ln ⁡ ( 1 + x ) a partir da série de potência 1 1 + x . Veja que:

f t = 1 1 + t = 1 - t + t 2 - t 3 + …

converge para - 1 < x < 1 . Por integração, temos:

∫ 0 x 1 1 + t d t = t - t 2 2 + t 3 3 - t 4 4 + … + t n n 0 x = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + …

Logo, a série ln ⁡ ( 1 + x ) também converge para - 1 < x < 1 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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