Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 36c
- Encontre a soma parcial da série . Estime o erro do uso de como uma aproximação da soma da série.
- Utilize (3) com para dar uma estimativa melhorada da soma.
- Encontre um valor de tal que represente a soma com precisão de .
Passo 1
Galerinha, aqui já fizemos os três primeiros itens, só falta o item (d). Queremos saber quantos termos precisamos somar pra encontrar uma aproximação com erro de no máximo .
Vamos chamar nosso erro de e ele tem que ser menor que
Lembra da equação (3) que usamos no item (b)? Eu vou relembrar pra você:
Em que é a função associada ao termo geral da série e é uma função positiva, contínua e descrescente.
Se a gente subtrair da equação (3) ficamos com:
Mas aqui, a gente só vai precisar usar uma parte dessa inequação!
Aplicando isso na nossa série:
Nossa estratégia vai ser calcular a integral acima e depois comparar esse resultado com a tolerância do nosso erro:
Pra acharmos !
Passo 2
Primeiro repara que essa integral é imprópria, pois tem limite superior infinito. Então temos que trocar o limite superior por uma variável finita e depois fazer o limite dessa variável tendendo ao infinito :
E agora vamos integrar:
Voltemos pro nosso limite:
Ufa, terminamos a integral!
E como vimos no passo 1:
Passo 3
Pelo enunciado, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que . Logo,
Como acabamos de descobrir que:
Pra garantir nossa tolerância, vamos dizer que:
E agora é só resolver:
Perfeito! Pra acharmos uma aproximação da série com erro máximo de , precisamos somar pelo menos 33 termos dessa série!