Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.3 - Ex. 33c
Para a soma da série:
Encontre um valor de que garanta que o erro na aproximação seja menor que .
Passo 1
Galerinha, o que significa encontrar um valor que garanta um erro de aproximação menor que ?Ora, essa é uma série que a soma irá convergir para um determinado valor. Podemos estimar esse valor calculando o somatório para um qualquer. Como por exemplo utilizando . Temos:
Porém, sabemos que tende ao infinito. Logo é razoável esperar que haja uma diferença entre o valor estimado e o valor real. E essa diferença, ou erro, pode ser estimada utilizando a seguinte equação:
Em que significa: O erro entre o valor estimado e o valor real para . Ou seja, há uma diferença de entre o valor calculado e o valor real.
Você deve estar pensando.
“Certo, mas e o que isso tem a ver com o enunciado dessa questão?”
Tem a ver o seguinte. Utilizaremos a mesma ideia acima, porém fazendo o caminho inverso. Temos que encontrar quantos termos eu preciso somar para alcançar um determinado erro máximo.
Vamos colocar a mão na massa?
Passo 2
Utilizaremos a fórmula para avaliarmos o erro para um qualquer.
Ou seja
Pelo enunciado, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que . Logo,
Pra garantir nossa tolerância, vamos dizer que:
E portanto, o número mínimo de termos pra essa precisão é: