Enunciado

Para a soma da série: ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Encontre um valor de n que garanta que o erro na aproximação s ≈ s n seja menor que 0,001 .

Passo 1

Galerinha, o que significa encontrar um valor n   que garanta um erro de aproximação s ≈ s n menor que 0,001 ?Ora, essa é uma série que a soma irá convergir para um determinado valor. Podemos estimar esse valor calculando o somatório para um n qualquer. Como por exemplo utilizando n = 10 . Temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ≃ s 10 = 1 1 2 + 1 2 2   + … 1 10 2 = 1.5498

Porém, sabemos que n tende ao infinito. Logo é razoável esperar que haja uma diferença entre o valor estimado e o valor real. E essa diferença, ou erro, pode ser estimada utilizando a seguinte equação:

R 10 ≤ ∫ 10 ∞ f x d x = ∫ 10 t 1 x 2 d x   = 0.1

Em que R 10 significa: O erro entre o valor estimado e o valor real para n = 10 . Ou seja, há uma diferença de 0.1   entre o valor calculado e o valor real.

Você deve estar pensando.

“Certo, mas e o que isso tem a ver com o enunciado dessa questão?”

Tem a ver o seguinte. Utilizaremos a mesma ideia acima, porém fazendo o caminho inverso. Temos que encontrar quantos termos eu preciso somar para alcançar um determinado erro máximo.

Vamos colocar a mão na massa?

Passo 2

Utilizaremos a fórmula para avaliarmos o erro para um n qualquer.

R n ≤ ∫ n ∞ f x d x = ∫ n t 1 x 2 d x  

∫ n t 1 x 2 d x   =   - 1 t - - 1 n   = 1 n

Ou seja

R n ≤ 1 n

Pelo enunciado, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que 0,001 . Logo,

R n ≤ 0,001

Pra garantir nossa tolerância, vamos dizer que:

1 n ≤ 0,001

E portanto, o número mínimo de termos pra essa precisão é:

n ≥ 1000

Resposta

n ≥ 1000

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