Demonstre que, se as funções positivas f(x) e g(x) crescem a mesma taxa quando x → infinito então f = O(g) e g = O(f)

Passo 1

Bom, estamos diante de uma demonstração. Vamos precisar da definição de taxas relativas de crescimento. Ok?

Se temos uma f x e uma g ( x ) que crescem à mesma taxa quando x → ∞ então de acordo coma definição, temos:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = L   ≠ 0

Ou

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) = 1 L   ≠ 0

Então :

f ( x ) g ( x ) - L < 1

Quando x é suficientemente grande. Logo, pela definição de módulo, temos:

L - 1 <   f x g x < L + 1  

Isso implica que:

f ( x ) g ( x ) ≤ L + 1 , quando x   é suficientemente grande, logo podemos afirmar que: f = O ( g )

De modo semelhante, temos:

g ( x ) f ( x ) ≤ 1 L + 1   que resulta em   g = O   ( f )

Resposta

Questão de demonstração

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