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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 17

Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 3 .

Passo 1

Fala aê, pessoal!

Nessa questão precisamos determinar os momentos de inércias nos eixos para essa lâmina aqui, ó:

D = x , y 1 ≤ x ≤ 3 ,   1 ≤ y ≤ 4 ;     ρ x , y = k x 2

E como é a fórmula do momento de inércia do eixo x e do eixo y ?

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

I y = ∬ D   x 2   ρ x ,   y   d A

Onde ρ é a densidade da massa, que nos foi dada na questão. Basta agora substituir todas as informações nas integrais e calcular tudo.

Passo 2

Vamos calcular o momento de inércia I x em relação ao eixo x :

I x = ∬ D   y 2   ρ x ,   y   d A

Usando os dados do Exercício 3 , temos:

∫ 1 3 ∫ 1 4 y 2   k y 2 d y d x

Calculamos de dentro para fora, ou seja, primeiro em relação a y .

Colocando k para fora da integral como constante, e organizando os integrandos, teremos

k ∫ 1 3 y 5 5 1 4   d x

Substituindo os limites de integração, resolveremos a outra integral:

k ∫ 1 3 4 5 5 - 1 5   d x

k ∫ 1 3 1023 5   d x

k 1023 5 x 1 3 = 1023 5 3 - 1 k

I x = 409,2   k

Passo 3

Analogamente, vamos ao cálculo do momento de inércia I y em relação ao eixo y , resolvendo a integral dupla de dentro para fora:

∫ 1 3 ∫ 1 4 x 2   k y 2 d y d x

k ∫ 1 3 x 2 y 3 3 1 4   d x

Substituindo os limites de Integración e organizando:

k ∫ 1 3 x 2 4 3 3 - 1 3   d x

63 3 k x 3 3 1 3 = 63 3 k 3 3 3 - 1 3

I y = 182   k

Passo 4

Show! Agora só falta calcular o momento de inércia I 0 em relação à origem, da seguinte forma:

I 0 = I x + I y

I 0 = 409,2   k + 182   k

I 0 = 591,2   k

Resposta

I x = 409,2   k

I y = 182   k

I 0 = 591,2   k

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