Enunciado

Quais das seguintes funções f tem uma descontinuidade removível em a ? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função g que seja igual a f para x ≠ a e seja contínua em   a .

a f x = x 4 - 1 x - 1 ,   a = 1

b f x = x 3 - x 2 - 2 x x - 2 ,   a = 2

c f x = s e n x ,   a = π

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos descobrir se a função f x possui descontinuidade removível no valor de a indicado. Temos essas 3 funções aqui:

a f x = x 4 - 1 x - 1 ,   a = 1

b f x = x 3 - x 2 - 2 x x - 2 ,   a = 2

c f x = s e n x ,   a = π

Percebemos que a função não é contínua em um ponto quando a gente tem algum problema pra calcular esse ponto. A função não existe, seu limite não existe ou ambos existem, mas são diferentes. Ou então se você imaginar que está desenhando o gráfico, a função vai ser descontínua no ponto que você precisa levantar o lápis pra calculá-la!

Para resolver o nosso problema, iremos aplicar o limite de quando x tende a a para remover a descontinuidade e assim encontrar uma função g que seja igual a f e contínua em a .

Vamos lá!

Passo 2

  1. f x = x 4 - 1 x - 1 ,   a = 1
  2. Primeiramente, note que quando a = 1 , o denominador zera e não podemos dividir por zero. Logo a função não é continua neste ponto.

    Aplicando o limite

    lim x → 1 ⁡ x 4 - 1 x - 1   = 0 0

    Caímos em uma indeterminação!

    Para resolver esse limite, utilizaremos uma técnica de fatoração conhecida como diferença de quadrados. Numa diferença de quadrados, temos que

    c 2 - d 2 = c + d ( c - d )

    Nesse caso, nosso c será x 2 e nosso d será 1

    lim x → 1 ⁡ x 2 + 1 ( x 2 - 1 ) x - 1  

    Podemos aplicar novamente a técnica de fatoração para ( x 2 - 1 ) . Então temos que,

    x 2 - 1 = x + 1 x - 1

    Substituindo no limite, ficamos com

    lim x → 1 ⁡ x 2 + 1 x + 1 ( x - 1 ) x - 1   = lim x → 1 ⁡ x 2 + 1 x + 1 = 4  

    Assim, nossa função g que é igual a f é:

    g x = x 2 + 1 x + 1

    que é contínua em a = 1

    Passo 3

  3. f x = x 3 - x 2 - 2 x x - 2 ,   a = 2
  4. Novamente, note que quando a = 2 , o denominador zera e não podemos dividir por zero. Logo a função não é continua.

    Aplicando o limite de quando x tende a a , temos

    lim x → 2 ⁡ x 3 - x 2 - 2 x x - 2 = 0 0

    Veja que ao substituir diretamente o valor indicado, caímos em uma indeterminação!

    Para resolver o limite, iremos fatorar o polinômio da parte de cima da fração. Tirando x em evidência, temos

    lim x → 2 ⁡ x ( x 2 - x - 2 ) x - 2

    O polinômio x 2 - x - 2 possui como raízes 2 e - 1 . Podemos então reescrever o limite da seguinte maneira

    lim x → 2 ⁡ x x - 2 ( x + 1 ) x - 2 = lim x → 2 ⁡ x 2 + x = 6

    Assim, nossa função g que é igual a f é:

    g x = x 2 + x

    que é contínua em a = 2 .

    Passo 4

  5. f x = sin ⁡ x ,   a = π

A função f x = s e n x é uma função periódica e não possui descontinuidade em a = π . Assim, a função não possui descontinuidade removível. Inclusive, se quisermos calcular, temos:

f x = sin ⁡ π = 0

Resposta

As funções a f x = x 4 - 1 x - 1 ,   a = 1 e b f x = x 3 - x 2 - 2 x x - 2 ,   a = 2 possuem descontinuidade removível em a .

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Nos exercícios 75 a 78, prove que a função é descontínua no número a. Então, determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, redefina f(a) de forma a remover a descontinuida
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Nos Exercícios de 23 a 32 , prove que a função é descontínua no número a . Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefinda f ( a ) de tal f