Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 49
Quais das seguintes funções tem uma descontinuidade removível em ? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função que seja igual a para e seja contínua em.
Passo 1
Bom galera, nessa questão queremos descobrir se a função possui descontinuidade removível no valor de indicado. Temos essas 3 funções aqui:
Percebemos que a função não é contínua em um ponto quando a gente tem algum problema pra calcular esse ponto. A função não existe, seu limite não existe ou ambos existem, mas são diferentes. Ou então se você imaginar que está desenhando o gráfico, a função vai ser descontínua no ponto que você precisa levantar o lápis pra calculá-la!
Para resolver o nosso problema, iremos aplicar o limite de quando tende a para remover a descontinuidade e assim encontrar uma função que seja igual a e contínua em
Vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, note que quando , o denominador zera e não podemos dividir por zero. Logo a função não é continua neste ponto.
Aplicando o limite
Caímos em uma indeterminação!
Para resolver esse limite, utilizaremos uma técnica de fatoração conhecida como diferença de quadrados. Numa diferença de quadrados, temos que
Nesse caso, nosso será e nosso será
Podemos aplicar novamente a técnica de fatoração para . Então temos que,
Substituindo no limite, ficamos com
Assim, nossa função que é igual a é:
que é contínua em
Passo 3
Novamente, note que quando , o denominador zera e não podemos dividir por zero. Logo a função não é continua.
Aplicando o limite de quando tende a , temos
Veja que ao substituir diretamente o valor indicado, caímos em uma indeterminação!
Para resolver o limite, iremos fatorar o polinômio da parte de cima da fração. Tirando em evidência, temos
O polinômio possui como raízes e . Podemos então reescrever o limite da seguinte maneira
Assim, nossa função que é igual a é:
que é contínua em .
Passo 4
A função é uma função periódica e não possui descontinuidade em . Assim, a função não possui descontinuidade removível. Inclusive, se quisermos calcular, temos:
Resposta
As funções e possuem descontinuidade removível em .