O segundo teorema de Pappus está na mesma linha do teorema de Pappus da página 565, mas para área de superfície ao invés de volume: Faça com que C seja a curva que fica inteiramente de um lado de uma linha l no plano. Se C é rotacionada ao redor de l , então a área da superfície resultante é o produto do comprimento do arco de C e a distância percorrida pelo centróide de C (veja o exercício 47).a) Prove o segundo teorema de Pappus para o caso onde C é dado por y = f x ,f x ≥ 0 , e C é rotacionado ao redor do eixo x .b) Use o segundo teorema de Pappus para calcular a área da superfície da meia esfera obtida pela rotação da curva do exercício 47 ao redor do eixo x . A sua resposta concorda com aquela dada pelas fórmulas geométricas?

Enunciado

Vamos começar o exercício pela demonstração da letra a). Do exercício 47, temos que:

A área da supefície é dada por:

E, reescrevendo a expressão para a área da superfície, temos:

Que é justamente o produto do comprimento de arco da curva e a distância percorrida pelo centróide de .

Agora vamos analisar a letra b). Do exercício 47, e . Pelo segundo teorema de Pappus, a área da superfície é:

Substituindo os valores para e :

A fórmula geométrica para a área da superfíce de meia esfera é:

Nesse caso, temos , e substituindo esse valor na equação de cima, temos:

O que concorda com o valor obtido no passo 2.