Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 8.3 - Ex. 48
O segundo teorema de Pappus está na mesma linha do teorema de Pappus da página 565, mas para área de superfície ao invés de volume: Faça com que seja a curva que fica inteiramente de um lado de uma linha no plano. Se é rotacionada ao redor de , então a área da superfície resultante é o produto do comprimento do arco de e a distância percorrida pelo centróide de (veja o exercício 47).
a) Prove o segundo teorema de Pappus para o caso onde é dado por , e é rotacionado ao redor do eixo .
b) Use o segundo teorema de Pappus para calcular a área da superfície da meia esfera obtida pela rotação da curva do exercício 47 ao redor do eixo . A sua resposta concorda com aquela dada pelas fórmulas geométricas?
Passo 1
Vamos começar o exercício pela demonstração da letra a). Do exercício 47, temos que:
A área da supefície é dada por:
E, reescrevendo a expressão para a área da superfície, temos:
Que é justamente o produto do comprimento de arco da curva e a distância percorrida pelo centróide de .
Passo 2
Agora vamos analisar a letra b). Do exercício 47, e . Pelo segundo teorema de Pappus, a área da superfície é:
Substituindo os valores para e :
Passo 3
A fórmula geométrica para a área da superfíce de meia esfera é:
Nesse caso, temos , e substituindo esse valor na equação de cima, temos:
O que concorda com o valor obtido no passo 2.