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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 18

Avalie a integral.

int_1^2 (3 x^2 + 6 x + 2)/(x^2 + 3 x + 2) d x

Passo 1

Esse é bem simples!! Pra inicio de conversa, nós temos frações parciais com expoentes iguais, então não temos um método específico. Como o denominador é redutível, temos

(3 x^2 + 6 x + 2)/(x^2 + 3 x + 2) = (3 x^2 + 6 x + 2)/(( x + 2 ) ( x + 1 )) = (3 x^2 + 6 x + 2)/(( x + 2 ) ( x + 1 ))

Pronto!! Podemos resolver.

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

(3 x^2 + 6 x + 2)/(( x + 2 ) ( x + 1 )) = (A)/(x + 2) + (B)/(x + 1)

Multiplicando tudo por ( x + 2 ) ( x + 1 ) , temos:

3 x^2 + 6 x + 2 = A ( x + 1 ) + B ( x + 2 )

Resolvendo isso temos que:

3 x^2 + 6 x + 2 = A x + A + B x + 2 B

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + B = 6

A + 2 B = 2

Resolvendo esse sistema, multiplicamos a primeira equação por ( - 1 ) :

- A - B = - 6

A + 2 B = 2

Portanto: A = 10 e B = - 4 . Substituindo, temos:

(3 x^2 + 6 x + 2)/(( x + 2 ) ( x + 1 )) = (10)/(x + 2) - (4)/(x + 1)

Passo 3

Com isso, podemos integrar...

int_1^2 (3 x^2 + 6 x + 2)/(x^2 + 3 x + 2) d x = (10)/(x + 2) - (4)/(x + 1)

= int_1^2 (10)/(x + 2) d x - int_1^2 (4)/(x + 1) d x

Fazemos uma substituição para as duas temos que: u = x + 2 e d u = d x (só muda um termo)

= 10 [ln ( x + 2 )]_1^2 - 4 [ln (x + 1)]_1^2

Agora é só substituirmos os intervalos:

int_1^2 (3 x^2 + 6 x + 2)/(x^2 + 3 x + 2) d x = 10 ln ( 4 ) - 10 ln (3) - [4 ln (3) - 4 ln (2)]

Prontinho!!

Resposta

int_1^2 (3 x^2 + 6 x + 2)/(x^2 + 3 x + 2) d x = 10 ln ( 4 ) - 10 ln (3) - 4 ln (3) + 4 ln (2)

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