10. Seja B ⊂ ℝ3 um conjunto limitado, com fronteira de conteúdo nulo, eseja f: B → ℝ uma função contínua tal que f (x, y, z) ≥ 0 em B. Suponhaque

∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z = 0

Prove que f (x, y, z) = 0 em todo ponto interior de B

Passo 1

Uma das propriedades de integral de volume é que

∫ ∫ ∫ B 1 d x d y d z > 0

Para todos os casos possíveis dentro de b 1 . Logo a integral só fica negativa caso a função que estamos integrando seja negativa em sua maior parte. Como o enunciado nos garante que para todo intervalo temos que nossa função é unicamente maior ou igual a zero

f   x ,   y ,   z ≥   0  

Logo isso implica que nossa integração também fique maior ou igual a zero

∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z ≥ 0

Passo 2

Para que exista essa possibilidade

∫ ∫ ∫ B 1 f x , y , z d x d y d z = 0

Logo obrigatoriamente

f x , y , z = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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