Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 10
10. Seja B ⊂ ℝ3 um conjunto limitado, com fronteira de conteúdo nulo, eseja f: B → ℝ uma função contínua tal que f (x, y, z) ≥ 0 em B. Suponhaque
Prove que f (x, y, z) = 0 em todo ponto interior de B
Passo 1
Uma das propriedades de integral de volume é que
Para todos os casos possíveis dentro de . Logo a integral só fica negativa caso a função que estamos integrando seja negativa em sua maior parte. Como o enunciado nos garante que para todo intervalo temos que nossa função é unicamente maior ou igual a zero
Logo isso implica que nossa integração também fique maior ou igual a zero
Passo 2
Para que exista essa possibilidade
Logo obrigatoriamente
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Calcule
Calculej) int int int_B 2 * z * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 = 1 , x^2 + y^2 + z^2 = 4 e z = 0 .
Calculef) int int int_B (x^2 + z^2) * d x * d y * d z onde B é o cilindro x^2 + y^2 = 1 , 0 = z = 1 .
Calculeq) int int int_B cos z * d x * d y * d z onde B é o conjunto 0 = x = (pi)/(2) , 0 = y = (pi)/(2) e x - y = z = x + y .
Calculeh) int int int_B y * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + 4 * y^2 = 1 , 0 = z = 1 .