Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 10
10. Seja B ⊂ ℝ3 um conjunto limitado, com fronteira de conteúdo nulo, eseja f: B → ℝ uma função contínua tal que f (x, y, z) ≥ 0 em B. Suponhaque
Prove que f (x, y, z) = 0 em todo ponto interior de B
Passo 1
Uma das propriedades de integral de volume é que
Para todos os casos possíveis dentro de . Logo a integral só fica negativa caso a função que estamos integrando seja negativa em sua maior parte. Como o enunciado nos garante que para todo intervalo temos que nossa função é unicamente maior ou igual a zero
Logo isso implica que nossa integração também fique maior ou igual a zero
Passo 2
Para que exista essa possibilidade
Logo obrigatoriamente
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Calcule
Calculej) ∫ ∫ ∫ B 2 ⋅ z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + y 2 ≤ 1 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e z ≥ 0 .
Calculef) ∫ ∫ ∫ B x 2 + z 2 ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .
Calculeq) ∫ ∫ ∫ B cos z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ π 2 , 0 ≤ y ≤ π 2 e x - y ≤ z ≤ x + y .
Calculeh) ∫ ∫ ∫ B y ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é o conjunto x 2 + 4 ⋅ y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 .