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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 9

Sejam γ e K como no exercício 8 . Seja F x , y uma função a valores reais definida e contínua no interior de K e seja f x uma função a valores reais definida e contínua em ] a , b [ . Considere o problema com condições de fronteira

  1. ∇ 2 u = F   n o   i n t e r i o r   d e   K u γ t = f t   e m   a , b

Prove que se u 1 e u 2 são funções a valores reais de classe C 2 num aberto contendo K , satisfazendo ( 1 ) , então u 1 = u 2 em K .

Passo 1

Chegamos ao ponto do Guidorizzi começar a usar resultados de exercícios anteriores para dar continuidade nos próximos

Vamos então deixar claro que iremos usar resultados já obtidos nos problemas 7 e 8 .

Passo 2

O item (c) do problema 7, provamos que

∮ γ v ∂ v ∂ n → d s = ∬ K ( v   ∇ 2 v + ∇ v 2 )   d x d y  

E agora tomando como referência o que fizemos no Problema 8 , tome que v = u 1 = u , com g u > 0 assim temos que

∫ γ F → ⋅ n →   d s = ∫ c d F → γ g u ⋅ n → γ g u γ ' g u g ' u d u

Fazendo δ u = γ g u → δ ' u = γ ' g u g ' u e g ' u > 0 ,   na qual, tomando x = g x , temos que g c = a e g d = b

Então nossa função resulta em

∫ γ F → ⋅ n →   d s = ∫ c d F → δ u ⋅ n → δ u δ ' u d u = ∫ δ F → ⋅ n →   d s

Se tivermos v = u 2 = u , com g u < 0 , na qual g c = b e g d = a que é uma mudança com reversão na orientação, então

∫ γ F → ⋅ n →   d s = ∫ d c F → γ g u ⋅ n → γ g u γ ' g u - g ' u d u

E assim

∫ γ F → ⋅ n →   d s = ∫ c d F → δ u ⋅ n → δ u δ ' u d u = ∫ δ F → ⋅ n →   d s

Ou seja

u 1 = u 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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