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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 50

  1. Seja P uma aproximação de π precisa de até n casa decimais. Mostre que P + s e n   P dá uma aproximação correta para 3 n casas decimais. (Sugestão: considere P = π + x )
  2. Tente fazer isso com uma calculadora.

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

  1. Segundo a sugestão, temos que:

P = π + x

Portanto, temos que:

x = P - π < 0.5 * 10 - n ,   u m a   v e z   q u e   P   s e   a p r o x i m a   d e   π   a t é   n   c a s a s   d e c i m a i s

Logo, podemos dizer que:

P + s e n   P = π + x + s e n ( π + x )

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente, temos:

P + s e n   P = π + ( x - s e n   x )

Ou seja, podemos dizer que:

P + s e n   P - π = | s e n   x - x | ≤ x 3 3 !

Passo 3

Logo:

P + s e n   P - π < 0.5 * 10 - 3 n

Portanto, P + s e n   P nos dá uma aproximação até π de 3n decimais.

Resposta

P + s e n   P dá uma aproximação correta para 3 n casas decimais.

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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