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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 32

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

32.   l i m θ   →   0 s e n   θ   -   θ   +   ( θ 3 / 6 ) θ 5

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questão para avaliar o limite e o raciocínio aqui é exatamente o mesmo. A gente tenta escrever tudo em termos de séries de potências, usando as expansões que já conhecemos e depois aplicamos o limite. O objetivo é conseguir calcular o limite de uma forma mais fácil do que seria aplicando diretamente a função que foi dada.

Então, como nós já conhecemos a expansão do seno, vamos começar com ela:

s e n   θ = θ - θ 3 3 ! + θ 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n θ 2 n + 1 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Agora, vamos calcular s e n   θ   - θ + ( θ 3 / 6 )

s e n   θ - θ + ( θ 3 / 6 ) = θ - θ 3 3 ! + θ 5 5 ! +   ⋅ ⋅   ⋅ + ( - 1 ) n θ 2 n + 1 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅ -   θ   +   ( θ 3 / 6 )

⇒ s e n   θ - θ + ( θ 3 / 6 ) = θ 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n θ 2 n + 1 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅  

como os termos θ 3 3 ! e θ 3 / 6 são iguais, mas com sinais opostos, então se cancelam. Só falta dividir tudo por θ 5 :

s e n   θ   -   θ   +   ( θ 3 / 6 ) θ 5 = 1 5 ! + θ 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n θ 2 n - 4 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 3

Agora que temos a expansão em série, podemos tomar o limite. Vamos lá!

l i m θ   →   0 s e n   θ   -   θ   +   ( θ 3 / 6 ) θ 5 = l i m θ   →   0 1 5 ! + θ 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n θ 2 n - 4 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m θ   →   0 s e n   θ   -   θ   +   ( θ 3 / 6 ) θ 5 = 1 5 ! + l i m θ   →   0 θ 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + l i m θ   →   0 ( - 1 ) n θ 2 n - 4 ( 2 n   +   1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m θ   →   0 s e n   θ   -   θ   +   ( θ 3 / 6 ) θ 5 = 1 5 ! = 1 120

Prontinho, conseguimos calcular o limite. O que você achou? Foi mais fácil ou não? Responde Aí!

Resposta

l i m θ   →   0 s e n   θ   -   θ   +   ( θ 3 / 6 ) θ 5 = 1 120

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