Seja u → = x 2 - y 2 ⋅ ∇ f . Calcular div u no ponto P(1, 2.3) sendo:

a) f = sen(xy) + x

Passo 1

Queremos encontrar div ⁡ u → no ponto P ( 1 , 2,3 ) , para isso precisamos primeiro calcular o gradiente de f .

O gradiente de f é o seguinte:

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

∇ f = ∂ sen ⁡ x y + x ∂ x i → + ∂ sen ⁡ x y + x ∂ y j → + ∂ sen ⁡ x y + x ∂ z k →

∇ f = y cos ⁡ x y + 1 i → + x cos ⁡ x y j → + 0 k →

∇ f = y cos ⁡ x y + 1 i → + x cos ⁡ x y j →

Passo 2

Agora encontramos u →

u → = x 2 - y 2 ⋅ ∇ f

u → = x 2 - y 2 ⋅ y cos ⁡ x y + 1 i → + x cos ⁡ x y j →

u → = x 2 y cos ⁡ x y - y 3 cos ⁡ x y + x 2 - y 2 i → + x 3 cos ⁡ x y - x y 2 cos ⁡ x y j →

Passo 3

Com isso podemos encontrar div ⁡ u → . Então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ u → = ∂ u 1 ∂ x + ∂ u 2 ∂ y + ∂ u 3 ∂ z

Aplicando a formula cima em u → temos:

div ⁡ u → = ∂ ∂ x x 2 y cos ⁡ x y - y 3 cos ⁡ x y + x 2 - y 2 + ∂ ∂ y x 3 cos ⁡ x y - x y 2 cos ⁡ x y + ∂ ∂ z 0

div ⁡ u → = 2 x y cos ⁡ x y - x 2 y 2 sen ⁡ x y + y 4 sen ⁡ x y + 2 x - 0 - x 4 sen ⁡ x y - 2 x y cos ⁡ x y + x 2 y 2 sen ⁡ x y + 0

div ⁡ u → = y 4 sen ⁡ x y + 2 x - x 4 sen ⁡ x y

div ⁡ u → = y 4 - x 4 sen ⁡ x y + 2 x

Passo 4

Com o div ⁡ u → encontrado, podemos calcular ele no ponto P ( 1 , 2,3 ) . Para isso basta substituímos os pontos.

div ⁡ u → = y 4 - x 4 sen ⁡ x y + 2 x

div ⁡ u → = 2 4 - 1 4 sen ⁡ 1 ⋅ 2 + 2 1

div ⁡ u → = 16 - 1 sen ⁡ 2 + 2

div ⁡ u → = 15 sen ⁡ 2 + 2

Resposta

div ⁡ u → = 15 sen ⁡ 2 + 2

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