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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 8a

Seja vec u = (x^2 - y^2) * grad f . Calcular div vec u no ponto P ( 1 , 2,3 ) sendo:

a) f = sen x y + x

Passo 1

Queremos encontrar div vec u no ponto P ( 1 , 2,3 ) , para isso precisamos primeiro calcular o gradiente de f .

O gradiente de f é o seguinte:

grad f = ((del (f))/(del x)) vec i + ((del (f))/(del y)) vec j + ((del (f))/(del z)) vec k

grad f = ((del (sen x y + x))/(del x)) vec i + ((del (sen x y + x))/(del y)) vec j + ((del (sen x y + x))/(del z)) vec k

grad f = (y cos x y + 1) vec i + (x cos x y) vec j + (0) vec k

grad f = (y cos x y + 1) vec i + (x cos x y) vec j

Passo 2

Agora encontramos vec u

vec u = (x^2 - y^2) * grad f

vec u = (x^2 - y^2) * [(y cos x y + 1) vec i + (x cos x y) vec j]

vec u = (x^2 y cos x y - y^3 cos x y + x^2 - y^2) vec i + (x^3 cos x y - x y^2 cos x y) vec j

Passo 3

Com isso podemos encontrar div vec u . Então basta fazermos o seguinte:

div vec u = (del u_1)/(del x) + (del u_2)/(del y) + (del u_3)/(del z)

Aplicando a formula cima em vec u temos:

div vec u = (del)/(del x) (x^2 y cos x y - y^3 cos x y + x^2 - y^2) + (del)/(del y) (x^3 cos x y - x y^2 cos x y) + (del)/(del z) (0)

div vec u = 2 x y cos x y - x^2 y^2 sen x y + y^4 sen x y + 2 x - 0 - x^4 sen x y - 2 x y cos x y + x^2 y^2 sen x y + 0

div vec u = y^4 sen x y + 2 x - x^4 sen x y

div vec u = (y^4 - x^4) sen x y + 2 x

Passo 4

Com o div vec u encontrado, podemos calcular ele no ponto P ( 1 , 2,3 ) . Para isso basta substituímos os pontos.

div vec u = (y^4 - x^4) sen x y + 2 x

div vec u = ((2)^4 - (1)^4) sen (1 * 2) + 2 (1)

div vec u = (16 - 1) sen 2 + 2

div vec u = 15 sen 2 + 2

Resposta

div vec u = 15 sen 2 + 2

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