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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 1-a

  1. Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário )
  1. F → x , y = x i → + y j → ,   γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π   e   n → é na normal exterior

Passo 1

Nesse exercício precisaremos usar o seguinte teorema para resolver

∫ γ F → . n → d s =   ∬ R ∇ . F →   d A

Visto que nossa função F é

F → x , y = x i → + y j →

E nossa região parametrizada é

  γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t

Podemos calcular esse fluxo

Passo 2

Vamos usar a parte direita, a integral do divergente

∬ R ∇ . F →   d A

Então agora precisamos calcular o div F

∇ . F → = 1 + 1 → 2

Passo 3

Vamos unir o que calculamos na integração agora

∬ R ∇ . F →   d A

∬ R 2   d A

E como nossa região é um círculo unitário como mostra nossa função γ ( t )  

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t

Essa integral apenas calcula a área desse círculo, visto que a função que integramos é constante, logo podemos pular a integração e usar métodos antigos para calcular essa área

A c = π r 2 → π

∬ R 2   d A → 2   π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∬ R ∇ . F →   d A = 2 π

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