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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 1-b

  1. Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário )

b )   F → x , y = y j → ,     γ   éa fronteira do quadrado de vértices (0,0) , (0,1) , (1,1) , (0,1) e n → a normal que aponta para fora do quadrado sendo γ orientada no sentido anti-horario

Passo 1

Nesse exercício precisaremos usar o seguinte teorema para resolver

∫ γ F → . n → d s =   ∬ R ∇ . F →   d A

Visto que nossa função F é

F → x , y = y j →

E nossa região formada pelos vértices

( 0,0 )   ,   ( 0,1 )   ,   ( 1,1 )   ,   ( 0,1 )

Podemos calcular esse fluxo

Passo 2

Vamos usar a parte direita, a integral do divergente

∬ R ∇ . F →   d A

Então agora precisamos calcular o div F

∇ . F → = 1

Passo 3

Vamos unir o que calculamos na integração agora

∬ R ∇ . F →   d A

∬ R 1   d A

E como nossa região é um quadrado unitario como mostra nossa função γ ( t )  

γ t = 0,0 ,   0,1 ,   1,1 ,   0,1

Essa integral apenas calcula a área desse quadrado, visto que a função que integramos é constante, logo podemos pular a integração e usar métodos antigos para calcular essa área

A Q = 1 * 1 → 1

∬ R 1   d A → 1 *   1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∬ R ∇ . F →   d A = 1

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