Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 1d
Seja um campo vetorial contínuo em . Justifique as igualdades.
Onde
, , e
Passo 1
Vamos inicialmente descrever o Teorema que nos é incumbino nesta seção.
Teorema: Seja um campo vetorial contínuo no aberto e sejam e , duas curvas de classe
a) Se for obtido de por uma mudança de parâmetro que conserva a orientação, então
b) Se for obtido de por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação, então
Assim vamos tentar usar de alguma forma nosso teorema.
Passo 2
Então vamos fazer uma simples transformação em nossas coodernadas. Fazendo , simples não?
Assim temos que
Onde é obtida através de uma transformação que reverte a orientação. Assim pelo teorema da seção 6.3, temos que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Seja F → um campo vetorial contínuo em R 2 . Justifique as igualdades. ∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2 Onde γ 1 t = t , t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 , e γ 2 u = u 2 , u 2 2 ,0 ≤ u ≤ 2
Seja F → um campo vetorial contínuo em R 2 . Justifique as igualdades. ∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2 Onde γ 1 t = cos t , s e nt , 0 ≤ t ≤ 2 π , e γ 2 u = cos 2 u , s e n2 u ,0 ≤ u ≤ π
Seja F → um campo vetorial contínuo em Ω e sejam γ 1 : a , b → Ω e γ 2 : c , d → Ω duas curvas quaisquer de classe C 1 , tais que I mγ 1 = I mγ 2 . A afirmação ∫ γ 1 F → ⋅ d γ 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ 2 Ou
Calcule ∫ γ d x + d y , onde γ é o poligonal de vértice A 0 = 0,0 , A 1 = 1,2 , A 2 = - 1,3 , A 3 = - 2,1 e A 4 = - 1 , - 1 , sendo γ orientada de A 0 para A 4 .
Calcule ∫ γ x 2 d x + y 2 d y + z 2 d z onde γ é a curva do Exercício 5.