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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 2

Seja F → um campo vetorial contínuo em Ω e sejam γ 1 : a , b → Ω e γ 2 : c , d → Ω duas curvas quaisquer de classe C 1 , tais que I m   γ 1 = I m   γ 2 . A afirmação

∫ γ 1 F → ⋅ d γ 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ 2

Ou

∫ γ 1 F → ⋅ d γ 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ 2

É falsa ou verdadeira ? Justifique.

Passo 1

Vamos inicialmente descrever o Teorema que nos é incumbino nesta seção.

Teorema: Seja F → um campo vetorial contínuo no aberto Ω ⊂ R n e sejam γ 1 : a , b → Ω e γ 2 : c , d → Ω , duas curvas de classe C 1

a) Se γ 2 for obtido de γ 1 por uma mudança de parâmetro que conserva a orientação, então

∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2

b) Se γ 2 for obtido de γ 1 por uma mudança de parâmetro que reverte a orientação, então

∫ γ 1 F → ⋅ d γ → 1 = - ∫ γ 2 F → ⋅ d γ → 2

Assim vamos tentar usar de alguma forma nosso teorema.

Passo 2

Vamos considerar duas curvas contínuas tais que,

γ 1 t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

e

γ 2 t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   0 ≤ t ≤ 4 π

E além disso vamos tomar

F → =   - y i ^ + x j ^

Uma função contínua em R 2 = Ω .

Olhando para nossa curvas, temos que ambas são são circunferência de raio 1 . Assim I m   y 1 = I m   γ 2 .

Resolvendo nossas integrais a partir do que temos

Para γ 1

∫ 0 2 π - s e n   t , cos ⁡ t ⋅ - s e n   t , cos ⁡ t d t = ∫ 0 2 π d t = 2 π

E para γ 2

∫ 0 4 π - s e n   t , cos ⁡ t ⋅ - s e n   t , cos ⁡ t d t = ∫ 0 4 π d t = 4 π

Assim temos que a afirmação é falsa

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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