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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 4

Calcule ∫ γ d x + d y , onde γ é o poligonal de vértice A 0 = 0,0 , A 1 = 1,2 , A 2 = - 1,3 , A 3 = - 2,1 e A 4 = - 1 , - 1 , sendo γ orientada de A 0 para A 4 .

Passo 1

A curva em questão é dada pela imagem a baixo que criamos no software Geogebra

O Sentido que devemos adotar é o anti-horário, ou seja, A → B → C → D → E

Passo 2

Vamos fazer por partes, no caso, 4 partes. Assim

Para γ 1 A → B

γ 1 t = t , 2 t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 1 t = ( d t , 2 d t )

Para γ 2   B → C

γ 2 t = 1 - 2 t , 2 + t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 2 t = ( - 2 d t , d t )

Para γ 3   C → D

γ 3 t = - 1 - t , 3 - 2 t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 3 t = ( - d t , - 2 d t )

Para γ 4   D → E

γ 3 t = - 2 + t , 1 - 2 t ,   0 ≤ t ≤ 1

Com

d γ 3 t = ( d t , - 2 d t )

Passo 3

Assim teremos que

∫ 0 1 d t + 2 d t - 2 d t + d t - d t - 2 d t + d t - 2 d t = ∫ 0 1 - 2 d t = - 2

Resposta

- 2

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