Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.7 - Ex. 9

Seja S o cilindro x 2 + y 2 = a 2 ,     0 ≤ z ≤ h . , juntamente com seu topo, x 2 + y 2 = a 2 ,     z = h . Seja F = - y i + x j + x 2 k . Utilize o teorema de Stokes para encontrar o fluxo exterior de ∇ × F através de S .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Notamos que o círculo

C : x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 = a 2 ,   z = 0 }

Envolve a superfície S . Em coordenadas cilíndricas esta curva é descrita pela equação paramétrica

r θ = a cos ⁡ θ i + a sen ⁡ θ j

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π . Portanto, do Teorema de Stokes

∬ ∇ × F ∙ n d σ = ∮ F ∙ d r

Onde C é orientado no sentido anti-horário visto de cima ( θ vai de θ = 0 a θ = 2 π ). Nesse caso temos isso

F r θ = - a sen ⁡ θ i + a cos ⁡ θ j + a 2 cos 2 ⁡ θ k

r ' θ = - a sen ⁡ θ i + a cos ⁡ θ j

Então, com isso,

F ∙ d r = F ∙ d r d θ d θ = a 2 sen 2 ⁡ θ + a 2 cos 2 ⁡ θ = a 2

Portanto, o fluxo do campo vetorial ∇ × F através da superfície é

∬ ∇ × F ∙ n d σ = ∫ 0 2 π F ∙ d r d θ d θ = ∫ 0 2 π a 2   d θ = 2 π a 2

Resposta

∬ ∇ × F ∙ n d σ = 2 π a 2

Exercícios de Livros Relacionados

1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. f )F → x , y , z = y i → ,σ é a superfície z =x 2 + y 2c o mz ≤ 1 sendo n → a normal co
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. i )F → x , y , z = - y 2 i → + x 2 j → + z 2 k → ,σ é a superfície x 2 + y 2 4 + z 2 =
1 ) Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S numa integral de linha e calcule. h )F → x , y , z = - y i → + x j → + x 2 k → ,σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,2 ≤
9. Calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S Onde, F x , y , z = - y , x ,e x 2 + y 2 + z 2,σ a superfície x 2+y 2+z 2=1 , z ≥ 0, e a normal apontando para fora da esfera. (Sugestão: Utilize o Exercício 8.)
8. Seja σ a superfície {(x, y, z) ∈ ℝ3 |x 2+y 2+z 2=R 2 , z ≥ 0} (R0) e seja um campo vetorial de classe C1 num aberto contendo σ. Justifique a afirmação ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S =∫ γ F ⋅ d r Onde γ t = R