Seja S o cilindro x 2 + y 2 = a 2 ,     0 ≤ z ≤ h . , juntamente com seu topo, x 2 + y 2 = a 2 ,     z = h . Seja F = - y i + x j + x 2 k . Utilize o teorema de Stokes para encontrar o fluxo exterior de ∇ × F através de S .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Notamos que o círculo

C : x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 = a 2 ,   z = 0 }

Envolve a superfície S . Em coordenadas cilíndricas esta curva é descrita pela equação paramétrica

r θ = a cos ⁡ θ i + a sen ⁡ θ j

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π . Portanto, do Teorema de Stokes

∬ ∇ × F ∙ n d σ = ∮ F ∙ d r

Onde C é orientado no sentido anti-horário visto de cima ( θ vai de θ = 0 a θ = 2 π ). Nesse caso temos isso

F r θ = - a sen ⁡ θ i + a cos ⁡ θ j + a 2 cos 2 ⁡ θ k

r ' θ = - a sen ⁡ θ i + a cos ⁡ θ j

Então, com isso,

F ∙ d r = F ∙ d r d θ d θ = a 2 sen 2 ⁡ θ + a 2 cos 2 ⁡ θ = a 2

Portanto, o fluxo do campo vetorial ∇ × F através da superfície é

∬ ∇ × F ∙ n d σ = ∫ 0 2 π F ∙ d r d θ d θ = ∫ 0 2 π a 2   d θ = 2 π a 2

Resposta

∬ ∇ × F ∙ n d σ = 2 π a 2

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