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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 9

9. Calcule

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S

Onde, F x , y , z = - y , x ,   e x 2 + y 2 + z 2   ,   σ a superfície x 2   +   y 2   +   z 2   =   1 , z ≥ 0, e a normal apontando para fora da esfera. (Sugestão: Utilize o Exercício 8.)

Passo 1

Temos assim como no exercício 8. A superfície abaixo

Então teremos

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ F ⋅ d r = ∫ t 1 t 2 F γ t ⋅ γ ' t d t  

Ou seja, podemos parametrizar essa curva para trabalharmos apenas com uma variável. E uma possível parametrização é

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   0

γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0

Passo 2

Nossa função parametrizada fica no seguinte formato

  F x , y , z = - y , x ,   e x 2 + y 2 + z 2

F γ t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   e r 2

Vamos calcular essa integral de linha

∫ t 1 t 2 F γ t ⋅ γ ' t d t

∫ 0 2 π - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   e r 2 ⋅ - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0 d t

∫ 0 2 π sin ² ⁡ t + cos 2 ⁡ t d t

Podemos usar de propriedade trigonométrica que diz

sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Assim a integral fica

∫ 0 2 π 1 d t = 2 π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 2 π

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