8. Seja σ a superfície {(x, y, z) ∈ ℝ3 | x^2 + y^2 + z^2 = R^2 , z ≥ 0} (R > 0) e seja um campo vetorial de classe C1 num aberto contendo σ. Justifique a afirmação

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ F ⋅ d r

Onde gamma(t) = (R \* cos(t), R \* sen(t), 0) 0 ≤ t ≤ 2π, e a normal apontandopara fora da esfera x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Sugestao : Aplique o teorema de Stolkes às porções de supercicies regulares

σ1(u, v) = (u, v, raiz(R^2 - u^2 - v^2)), u^2 + v^2 < r^2

A fórmula MathML fornecida não contém nenhum conteúdo, portanto não há nada para reescrever em linguagem natural. 0 < r < R

σ2(ϕ, θ) = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ, R cos ϕ), 0 <= θ <= pi

ϕ0 <= ϕ <= pi/2

Onde ϕ_0 = arcsen(r / R)

σ_3 = (R sen ϕ cos θ, R sen ϕ sen θ, R cos ϕ), pi ≤ θ ≤ 2pi, ϕ_0 ≤ ϕ ≤ pi/2

Passo 1

Essa questão é para entender o conceito do teorema de Stokes. Que nos diz que o Fluxo vetorial através de uma superfície é igual ao Trabalho ao percorrer a borda dessa superfície. No nosso caso temos essa superfície

E pelo teorema podemos optar por calcular o fluxo ou o trabalho através da borda. Neste caso a borda é o circulo

x 2 + y 2 = R 2

Então teremos

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ F ⋅ d r = ∫ t 1 t 2 F γ t ⋅ γ ' t d t  

Ou seja, podemos parametrizar essa curva para trabalharmos apenas com uma variável. E uma possível parametrização é

γ t = R cos ⁡ t ,   R sin ⁡ t ,   0

Conseguimos provar o que o enunciado queria. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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