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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 8

8. Seja σ a superfície {(x, y, z) ∈ ℝ3 |   x 2   +   y 2   +   z 2   =   R 2 , z ≥ 0} (R > 0) e seja um campo vetorial de classe C1 num aberto contendo σ. Justifique a afirmação

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ F ⋅ d r

Onde γ t = R cos ⁡ t ,   R sin ⁡ t ,   0 ,   0 ≤ t ≤ 2π, e a normal apontandopara fora da esfera x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Sugestao : Aplique o teorema de Stolkes às porções de supercicies regulares

σ 1   u , v =   u , v ,   R 2 - u 2 - v 2 ,   u 2 + v 2 < r 2

  0 < r < R

σ 2   ϕ ,   θ = R   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   R   s e n   ϕ s e n   θ ,   R cos ⁡ ϕ     ,   0 ≤ θ ≤ π  

ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π 2

Onde ϕ 0 = arcsin ⁡ r R

σ 3 =   R   s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   R   s e n   ϕ s e n   θ ,   R cos ⁡ ϕ   ,   π ≤ θ ≤ 2 π   ,   ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π 2

Passo 1

Essa questão é para entender o conceito do teorema de Stokes. Que nos diz que o Fluxo vetorial através de uma superfície é igual ao Trabalho ao percorrer a borda dessa superfície. No nosso caso temos essa superfície

E pelo teorema podemos optar por calcular o fluxo ou o trabalho através da borda. Neste caso a borda é o circulo

x 2 + y 2 = R 2

Então teremos

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ F ⋅ d r = ∫ t 1 t 2 F γ t ⋅ γ ' t d t  

Ou seja, podemos parametrizar essa curva para trabalharmos apenas com uma variável. E uma possível parametrização é

γ t = R cos ⁡ t ,   R sin ⁡ t ,   0

Conseguimos provar o que o enunciado queria. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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