Calcule

∬ grad xx (y i) * n d sigma

Onde S é o hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z >= 0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A curva na base da superfície encontra-se no plano z = 0 . É um círculo de raio r = 1 centrado na origem x^2 + y^2 = 1 , que pode ser descrito pela equação paramétrica

C : r (theta) = cos theta i + sen theta j

Onde 0 <= theta <= 2 pi . Do teorema de Stokes temos que para F = y i

∬ (grad xx F) * n d sigma = oint F * d r

Onde

d r = (d r)/(d theta) d theta = (- sen theta i + cos theta j) d theta

O campo avaliado na equação paramétrica é

F (r (theta)) = y (theta) i + sen theta i

Então, com isso, temos a seguinte integral

∬ grad xx (y i) * n d sigma = int_0^(2 pi) (sen theta i) * (- sen theta i + cos theta j) d theta

Desenvolvendo os termos

∬ grad xx (y i) * n d sigma = - int_0^(2 pi) sen^2 theta d theta = - int_0^(2 pi) ((1 - cos ( 2 theta ))/(2)) d theta

Que tem como resultado

∬ grad xx (y i) * n d sigma = - (1)/(2) (2 pi - 0) + [(1)/(4) sin (2 theta)]_0^(2 pi) = - pi

Finalmente, descobrimos que

∬ grad xx (y i) * n d sigma = - pi

Resposta

∬ grad xx (y i) * n d sigma = - pi

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