Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.7 - Ex. 10
Calcule
Onde é o hemisfério .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A curva na base da superfície encontra-se no plano . É um círculo de raio centrado na origem , que pode ser descrito pela equação paramétrica
Onde . Do teorema de Stokes temos que para
Onde
O campo avaliado na equação paramétrica é
Então, com isso, temos a seguinte integral
Desenvolvendo os termos
Que tem como resultado
Finalmente, descobrimos que
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
6. Seja F = ( P,Q,R ) de classe C 1 no aberto R 3 -{ ( 0,0 ,0 ) } . Seja σ a fronteira do conjunto K={ ( x ,y ,z )∈R 3|x ²+y ²-1≤z≤1-x ² -y ² } ² ² ² ² com normal apontando para fora de K. Mostre que
7. Seja σ a superfície x ,y ,z ∈R 3x 2+y 2=1 ,0≤z≤1 } e sejaum campo vetorial de classe C1 num aberto contendo σ. Justifique aafirmação ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S =∫ γ 1 F → ⋅ d r + ∫ γ 2 F → ⋅ d r onde Γ1
2. Seja F um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω. Sejam σ1 e σ2 porções de superfícies regulares com fronteiras Γ1 e Γ2 orientadas positivamente com relação às normais n 1 en 2 tais que I mσ 1eI m
5. Seja F ( x ,y ,z )= ( 0,0 , x 3 ) e seja σ a superfície z = y + 4 com 1≤x 2 + y 2 ≤4 , com normal apontando para baixo. Calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S
4. Seja F x ,y ,z = ( x z 2 , z 4, y z ) e seja σ a superfíciex 2 +y 2 +z 2 =4 , com2≤z≤ 3 , com normal apontando para cima. Utilizando o exercício anterior, calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S