Seja f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A ⊂ R 2 e seja ( x 0 , y 0 ) um ponto de A . Seja o polinômio P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c , com a , b e c constantes. Suponha que existam M0 e uma bola aberta B de centro ( x 0 , y 0 ) , com B ⊂ A , tal que, para todo ( x , y ) em B, f x , y - P x , y ≤ M x , y - ( x 0 , y 0 ) 2 Prove que P é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( x 0 , y 0 ) .

Enunciado

A forma que vamos resolver esse problema é bem parecida com o que fizemos no exercício 9. Note que a relação

vale para qualquer em . Em particular, vale em . Assim,

Isso só é possível se . Desta forma, achamos

Portanto, a relação pode ser reescrita como

Agora, vamos fazer e deixar livre. Assim,

Note que podemos escrever:

Assim,

No limite , temos que

Portanto,

Desta forma, tiramos que

Por fim, vamos fixar e deixar livre:

Assim,

Logo,

No limite , temos que

Assim, temos que

Portanto,

Observe que encontramos

Mas estes são exatamente os coeficientes do polinômio de Taylor de ordem 1 de em torno de . Portanto, provamos que é o polinômio de Taylor!

Demonstração.