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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 10

Seja f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A ⊂ R 2 e seja ( x 0 , y 0 ) um ponto de A . Seja o polinômio P x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c , com a , b e c constantes. Suponha que existam M > 0 e uma bola aberta B de centro ( x 0 , y 0 ) , com B ⊂ A , tal que, para todo ( x , y ) em B,

f x , y - P x , y ≤ M x , y - ( x 0 , y 0 ) 2

Prove que P é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de ( x 0 , y 0 ) .

Passo 1

A forma que vamos resolver esse problema é bem parecida com o que fizemos no exercício 9. Note que a relação

f x , y - a x - x 0 - b y - y 0 - c ≤ M x , y - ( x 0 , y 0 ) 2

vale para qualquer ( x , y ) em B . Em particular, vale em x , y = ( x 0 , y 0 ) . Assim,

f x 0 , y 0 - c ≤ 0

Isso só é possível se f x 0 , y 0 - c = 0 . Desta forma, achamos

c = f ( x 0 , y 0 )

Portanto, a relação pode ser reescrita como

f x , y - f x 0 , y 0 - a x - x 0 - b y - y 0 ≤ M x , y - ( x 0 , y 0 ) 2

Passo 2

Agora, vamos fazer x = x 0 e deixar y livre. Assim,

f x 0 , y - f x 0 , y 0 - b y - y 0 ≤ M y - y 0 2

Note que podemos escrever:

f x 0 , y - f x 0 , y 0 - b y - y 0 = y - y 0   f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0 - b

Assim,

f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0 - b ≤ M   y - y 0

No limite y → y 0 , temos que

f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0 → ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 )

Portanto,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 - b ≤ 0

Desta forma, tiramos que

b = ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 )

Passo 3

Por fim, vamos fixar y = y 0 e deixar x livre:

f x , y 0 - f x 0 , y 0 - a x - x 0 ≤ M   x - x 0 2

Assim,

x - x 0   f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0 - a ≤ M   x - x 0 2

Logo,

f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0 - a ≤ M x - x 0

No limite x → x 0 , temos que

f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0 → ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 )

Assim, temos que

∂ f ∂ x x 0 , y 0 - a ≤ 0

Portanto,

a = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 )

Passo 4

Observe que encontramos

a = ∂ f ∂ x x 0 , y 0 ,           b = ∂ f ∂ y x 0 , y 0             e               c = f ( x 0 , y 0 )

Mas estes são exatamente os coeficientes do polinômio de Taylor de ordem 1 de f em torno de ( x 0 , y 0 ) . Portanto, provamos que P ( x , y ) é o polinômio de Taylor!

Resposta

Demonstração.

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Seja f x , y = x 3 + y 3 - x 2 + 4 y e P 1 ( x , y ) Avalie o erro que se comete na aproximação do item a).
Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta do ponto ( x 0 , y 0 ) dado. c) f x , y = s e n ( 3 x + 4 y ) e x 0 , y 0 = ( 0,0 )
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta do ponto (x0,y0) dado. f x , y = x sin ⁡ y → x 0 ,y 0 = 0,0 f x , y = x ³ + 2 x ² y + 3 y ³ + x - y → x 0 ,y 0 = 1,1 ³ ² ³
Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Seja P2 (x,y) um polinômio de grau 2. Prove que lim ⁡ f x , y - P 2 x , y x , y - x 0 , y 0 2 = 0 Onde P 2 x , y → ( x 0 , y
Seja f(x,y) de classe C³ no aberto A⊂ R ² ² e seja (x0, y0) um ponto de A. Prove que existem uma bola aberta B de centro (x0,y0), com B ∈ A , e um número M0 tais que, para todo x , y ∈ R f x , y - P 2