2. Considere a função z = (x y^2)/(x^2 + y^2) . Verifique que x (del z)/(del x) + y (del z)/(del y) = z .

Passo 1

As derivadas parciais são nada mais nada menos do que derivar primeiro em x e considerar y como constante e depois derivar y e considerar x como constante.

Então, para a nossa questão, vamos derivar em x,

(del z)/(del x) = (del)/(del x) (x y^2)/(x^2 + y^2) = (y^2 (x^2 + y^2) - x y^2 * 2 x)/((x^2 + y^2)^2) = (y^2 x^2 + y^4 - 2 x^2 y^2)/((x^2 + y^2)^2) = (- x^2 y^2 + y^4)/((x^2 + y^2)^2)

Agora vamos derivar em y,

(del z)/(del y) = (del)/(del y) (x y^2)/(x^2 + y^2) = (2 x y (x^2 + y^2) - x y^2 * 2 y)/((x^2 + y^2)^2) = (2 x^3 y)/((x^2 + y^2)^2)

Passo 2

Feita as derivadas parciais, vamos verificar,

x (del z)/(del x) + y (del z)/(del y) = z .

x ((- x^2 y^2 + y^4)/((x^2 + y^2)^2)) + y ((2 x^3 y)/((x^2 + y^2)^2)) =

(- x^3 y^2 + x y^4)/((x^2 + y^2)^2) + (2 x^3 y^2)/((x^2 + y^2)^2) =

(- x^3 y^2 + x y^4 + 2 x^3 y^2)/((x^2 + y^2)^2) =

(x y^4 + x^3 y^2)/((x^2 + y^2)^2) =

(x y^4 + x^3 y^2)/(x^4 + 2 x^2 y^2 + y^4) =

((x y^2) (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) =

(x y^2)/(x^2 + y^2) = z

Resposta

Verificado.

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