Seja l o comprimento da diagonal de um retângulo cujos lados têm comprimentos x e y , e suponha que x e y variem com o tempo. (a) Como estão relacionadas d l d t , d x d t e d y d t ?(b) Se x está crescendo a uma taxa constante de 1 2 c m / s e y está decrescendo a uma taxa constante de 1 4 c m / s , com que rapidez o comprimento da diagonal estará variando quando x=3c m e y=4c m ? A diagonal está crescendo ou está decrescendo naquele instante?

(a) x d x d t + yd y d t = ld l d t (b) d l d t = 0,1 c m s , a diagonal está crescendo.

Enunciado

Para relacionar e podemos aplicar o teorema de Pitágoras:

(a)

Vamos derivar em relação t a expressão encontrado pra relacionarmos e

Usando a regra do produto vamos ter:

Dividindo tudo por dois, encontraremos a relação:

(b)

Nesse enunciado ele dá alguns dados pra gente, vamos ver quais são eles:

e crescendo a uma taxa constante de , então

e decrescendo a uma taxa constante de então . Lembrando de atentar pro sinal negativo por estar decrescendo.

Além disso, se e . Por Pitágoras:

Substituindo todos esses dados na expressão que encontramos na letra (a), ficamos com:

Como a diagonal está crescendo naquele instante.

(a)

(b) , a diagonal está crescendo.