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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 8

Seja l o comprimento da diagonal de um retângulo cujos lados têm comprimentos x e y , e suponha que x e y variem com o tempo.

(a) Como estão relacionadas d l d t , d x d t e d y d t ?

(b) Se x está crescendo a uma taxa constante de 1 2 c m / s e y está decrescendo a uma taxa constante de 1 4 c m / s , com que rapidez o comprimento da diagonal estará variando quando x   =   3   c m e y   =   4   c m ? A diagonal está crescendo ou está decrescendo naquele instante?

Passo 1

Para relacionar x ,   y   e   l podemos aplicar o teorema de Pitágoras:

x 2 + y 2 = l 2

Passo 2

(a)

Vamos derivar em relação t a expressão encontrado pra relacionarmos d l d t , d x d t e d y d t

d d t [ x 2 + y 2 ] = d ( l 2 ) d t

d x 2 d t + d ( y 2 ) d t = d ( l 2 ) d t

Usando a regra do produto vamos ter:

d x 2 d x     d x d t + d ( y 2 ) d y   d y d t = d ( l 2 ) d l   d l d t

2 x     d x d t + 2 y   d y d t = 2 l   d l d t

Dividindo tudo por dois, encontraremos a relação:

x     d x d t + y   d y d t = l   d l d t

Passo 3

(b)

Nesse enunciado ele dá alguns dados pra gente, vamos ver quais são eles:

x   =   3   c m e crescendo a uma taxa constante de 1 2   c m / s , então d x d t = 1 2

y = 4   c m e decrescendo a uma taxa constante de 1 4 c m / s ,   então d y d t = - 1 4 . Lembrando de atentar pro sinal negativo por estar decrescendo.

Além disso, se x = 3   c m   e y = 4   c m . Por Pitágoras:

x 2 + y 2 = l 2

3 2 + 4 2 = l 2

25 = l 2             ⇒         l = 5   c m

Substituindo todos esses dados na expressão que encontramos na letra (a), ficamos com:

x     d x d t + y   d y d t = l   d l d t

3   c m   1 2 c m s + 4   c m   - 1 4 c m s = ( 5   c m )   d l d t

3 2 c m 2 s - 1 c m 2 s =   ( 5   c m )   d l d t

1 2 c m 2 s =   5   c m d l d t

d l d t = 1 10 c m s = 0,1 c m s

Como d l d t > 0 ,   a diagonal está crescendo naquele instante.

Resposta

(a) x     d x d t + y   d y d t = l   d l d t  

(b)     d l d t = 0,1 c m s   , a diagonal está crescendo.

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