20. Para a célula do Exercício 18, qual será a taxa de aumento da área quando o seu raio for 1,5 μ m ?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Identificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Imagine a situação e faça um diagrama:

Variáveis:

A -Área

R -raio

t -tempo

Passo 2

Como queremos a taxa de aumento da área do tumor, e o tumor tem a forma esférica, usamos a famosa equação que relaciona a área com o raio.

A = 4 π R 2

Passo 3

Agora que temos a equação que relaciona nossas variáveis. Vamos derivar implicitamente em relação a t, ou seja, vamos derivar em ambos os lados da igualdade em relação a t (pois estamos falando de taxa de variação).

A = 4 π R 2 ⇒ d A d t = 4 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ R ⋅ d R d t ⇒ d A d t = 8 π R ⋅ d R d t

d A d t = 8 π R ⋅ d R d t

Passo 4

Como a taxa de crescimento do raio da célula, quando ele mede 1,5   μ m , é de 0,01 micrômetros por dia. Temos que d R d t = 0,01   μ m / d i a e R = 1,5   μ m . Assim:

d A d t = 8 π R ⋅ d R d t ⇒ d A d t = 8 ⋅ π ⋅ 1,5 ⋅ 0,01 ⇒ d A d t = 0,12   μ m 2 / d i a

Resposta

0,12   μ m 2 / d i a

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