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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 7

Seja σ u , v = ( x , y , z ) , com x = u cos ⁡ v , y = u   s e n   v e z = u 2 . Mostre que σ transforma a faixa u ≥ 0 , 0 ≤ v ≤ 2 π , no paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Vamos lá, pela transformação, temos que:

x 2 + y 2 = u cos ⁡ v 2 + u   s e n   v 2

x 2 + y 2 = u 2 cos 2 ⁡ v + u 2 s e n 2 v

x 2 + y 2 = u 2 cos 2 ⁡ v + s e n 2 v

Usando a relação trigonométrica:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 , temos:

x 2 + y 2 = u 2

E como pela própria transformação nós temos z = u 2 , isso nos resulta em:

z = x 2 + y 2

O que nos comprova que a transformação leva a faixa ao paraboloide citado😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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