Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 7

Seja σ u , v = ( x , y , z ) , com x = u cos ⁡ v , y = u   s e n   v e z = u 2 . Mostre que σ transforma a faixa u ≥ 0 , 0 ≤ v ≤ 2 π , no paraboloide z = x 2 + y 2 .

Passo 1

Vamos lá, pela transformação, temos que:

x 2 + y 2 = u cos ⁡ v 2 + u   s e n   v 2

x 2 + y 2 = u 2 cos 2 ⁡ v + u 2 s e n 2 v

x 2 + y 2 = u 2 cos 2 ⁡ v + s e n 2 v

Usando a relação trigonométrica:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 , temos:

x 2 + y 2 = u 2

E como pela própria transformação nós temos z = u 2 , isso nos resulta em:

z = x 2 + y 2

O que nos comprova que a transformação leva a faixa ao paraboloide citado😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva x = 1 y , y ≥ 1 ao redor do eixo y e use-as para traçar o gráfico da superfície.
Encontre as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva y = 1 1 + x 2 , - 2 ≤ x ≤ 2 ao redor do eixo x e use-as para traçar o gráfico da superfície.
Encontre a área da superfície.Parte da superfície z = 4 - 2 x 2 + y que está acima do triângulo com vértices 0,0 ,( 1,0 ) e ( 1,1 ) .
Identifique a superfície com equação vetorial dada. r → u , v = 1 + 2 u i ^ + - u + 3 v j ^ + 2 + 4 u + 5 v k ^
Identifique a superfície com equação vetorial dada. r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + u 2 k