Encontre as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva x = 1 / y , y >= 1 ao redor do eixo y e use-as para traçar o gráfico da superfície.

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo certo?

Galera, antes de discutirmos os problemas, vamos pensar no que acontece quando rotacionamos um ponto ( x , y ) ao redor do eixo y . Nós teremos uma circunferência num plano paralelo ao plano x z de raio x , uma vez que é a distância do ponto ao eixo x . Nós podemos parametrizar essa equação da circunferência como ( x cos ⁡ θ ,   y ,   x sen ⁡ θ ) .

Agora, considere uma curva no plano x y dada por x = f ( y ) . Quando rotacionada ao redor do eixo x , temos uma superfície que é uma junção de circunferências com a seguinte representação paramétrica

( f y cos ⁡ θ ,   y ,   f y sen ⁡ θ )

Então, de acordo com o que achamos acima, vamos escrever nossos parâmetros como:

x = f y cos ⁡ θ

y = y

z = f y sen ⁡ θ

Onde o enunciado nos deu que:

f y = x = 1 y

Daí é só jogarmos nossas equações paramétricas e as restrições para y em um software gráfico como o GeoGebra e obter nossa superfície.

Passo 2

Agora, quando nossa curva x = 1 y é rotacionada ao redor do eixo y , nós temos a superfície que a representação paramétrica é dada por:

y = y

E, fazendo a substituição:

x = 1 y

Também temos:

x = 1 y cos ⁡ θ

E:

z = 1 y sen ⁡ θ

Aqui vemos que nossas funções paramétricas dependem de dois parâmetros, cuja variação é:

  • Para y : como o próprio enunciado nos deu:
  • y ≥ 1

    E:

  • Para θ : como não temos restrições para essa variável, ela pode assumir qualquer valor de ângulo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Usando um programa para traçar o gráfico, temos:

Resposta

A representação paramétrica é:

x = 1 y cos ⁡ θ

y = y

z = 1 y sen ⁡ θ

Com 0 ≤ θ ≤ 2 π e y ≥ 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados