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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 1

Identifique a superfície com equação vetorial dada.

r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + u 2 k

Passo 1

A ideia para resolver esta questão é lembrar das coordenadas de coordenadas cilíndricas e coordenadas cartesiana.

Em coordenadas cartesianas, escrevemos um ponto qualquer pelas coordenadas x , y , z . Já em coordenadas cilíndricas, escrevemos um ponto através das coordenadas r , θ , z , sendo,

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

O que está bem parecido com o enunciado da nossa questão, não é? Novamente, parecido, mas diferente! A comparação que temos que fazer é:

x = u cos ⁡ v y = u sen ⁡ v z = u 2

Passo 2

Agora vem o pulo do gato. Temos que sair da nossa função vetorial para a equação parametrizada. Para isto, nós temos que correlacionar as coordenadas x , y , z de um ponto qualquer com as equações da função vetorial.

Então, percebam que, para qualquer ponto x , y , z , temos:

x 2 + y 2 = u cos ⁡ v 2 + u sen ⁡ v 2

x 2 + y 2 = u 2 ⋅ cos 2 ⁡ v + sen 2 ⁡ v = u 2 = z

Portanto, x 2 + z 2 = z . Esta curva representa um paraboloide de revolução cujo eixo de simetria é o eixo z .

Resposta

Esta superfície representa um paraboloide de revolução cujo eixo de simetria é o eixo z .

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