Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 54

Seja , .

a) Esboce o gráfico de .

b) Calcule cada limite, se existir

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

c) Para quais valores de existe ?

Passo 1

Fala aí, pessoal! Nesse problema foi dada a função

Primeiro queremos esboçar o gráfico de . E até aí é tranquilo porque o gráfico da função cosseno já é muito conhecido ne (se você não lembra, a partir de agora guarda ele na manga).

Depois precisamos determinar os limites de para tendendo a , , e . E pra isso precisamos lembrar do conceito de limites laterais. Esses sinais de + e – nos ângulos indicam se estamos nos aproximando de pela direita ou pela esquerda e isso pode fazer algumas diferencinhas.

Para obter os limites, temos que calcular os valores que a função assume quando se aproxima do valor que estamos procurando.

No fim, a questão pede os valores de pros quais existe . E agora que você lembrou dos limites laterais, eu te adianto: pra um limite existir num ponto, precisamos que os limites laterais naquele ponto sejam iguais.

Então vamos calcular limites!

Veja só! 😉

Passo 2

Vamos esboçar o gráfico de

Caso você não lembre da cara dele, é só ir atribuindo valores de dentro do intervalo e achando seus valores.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos pro item b!

(i) Nesse caso é só substituir o valor de na expressão:

Passo 4

(ii) Vamos calcular o limte

Vamos substituir o valor de na expressão:

No entanto, vale lembrar que estamos nos aproximando pela esquerda, ou seja, por valores próximos de mas um pouquinho menores. Então o cosseno é quase zero, mas um pouquinho maior, então é positivo.

É o contrário do que vai acontecer no próximo item.

Passo 5

(iii) Vamos calcular

Aqui estamos nos aproximando de pela direita, ou seja, por valores um pouquinho maiores que . Então o cosseno vai assumir valores um pouquinho menores que zero, ou seja, negativos:

Passo 6

E por ultimo (iv) vamos calcular

Quando os limites laterais de uma função em um ponto são iguais, então o limite geral da função no ponto existe e é igual aos limites laterais.

Como vimos nos passos anteriores que:

Podemos dizer que o limite:

Estamos quase lá! 😉

Passo 7

Agora queremos os valores de pros quais existe .

Bom já vimos que pro limite existir, os limites laterais precisam ser iguais. E como a função é contínua (isso a gente vê claramente no gráfico), o limite existe pra todo o domínio.

Para o limite