Seja f(x) = c / (1 + x^2)

  1. Para qual valor de c esta é uma função densidade de probabilidade?
  2. Para este valor de c , encontre P(-1 < X < 1) .

Passo 1

  1. No geral, nós devemos satisfazer as duas condições que são mencionadas antes do Exemplo 1:
    1. f x ≥ 0 para todo x ;
    2. ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 .

    Se c ≥ 0 , então f x ≥ 0 , então a primeira condição está cumprida! Para a segunda condição, nós vemos que

    ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ c 1 + x 2 d x

    ∫ 0 ∞ c 1 + x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t c 1 + x 2 d x = c lim t → ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ x 0 t = c π 2

    Similarmente,

    ∫ - ∞ 0 c 1 + x 2 d x = c π 2

    Logo, ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 2 c π 2 = c π .

    Desde que c π seja igual a 1 , nós temos que c = 1 π , então f é uma função densidade de probabilidade.

    Passo 2

  2. P - 1 < x < 1 = ∫ - 1 1 1 π 1 + x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = 2 π tan - 1 ⁡ x 0 1 = 2 π π 4 - 0 = 1 2

Resposta

  1. c = 1 π
  2. 1 2
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