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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.5 - Ex. 5

Seja f x = c 1 + x 2 .

  1. Para qual valor de c esta é uma função densidade de probabilidade?
  2. Para este valor de c , encontre P ( - 1 < X < 1 ) .

Passo 1

  1. No geral, nós devemos satisfazer as duas condições que são mencionadas antes do Exemplo 1:
    1. f x ≥ 0 para todo x ;
    2. ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 .

    Se c ≥ 0 , então f x ≥ 0 , então a primeira condição está cumprida! Para a segunda condição, nós vemos que

    ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ c 1 + x 2 d x

    ∫ 0 ∞ c 1 + x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t c 1 + x 2 d x = c lim t → ∞ ⁡ tan - 1 ⁡ x 0 t = c π 2

    Similarmente,

    ∫ - ∞ 0 c 1 + x 2 d x = c π 2

    Logo, ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 2 c π 2 = c π .

    Desde que c π seja igual a 1 , nós temos que c = 1 π , então f é uma função densidade de probabilidade.

    Passo 2

  2. P - 1 < x < 1 = ∫ - 1 1 1 π 1 + x 2 d x = 2 π ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = 2 π tan - 1 ⁡ x 0 1 = 2 π π 4 - 0 = 1 2

Resposta

  1. c = 1 π
  2. 1 2
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Determine se é possível representar por um número a medida da área da região no primeiro quadrante abaixo da curva cuja equação é y = e - x . Sendo possível, calcule-o
Dada f x = e x - e - x e 2 x - e - 2 x s e x = 0 1 s e x ≠ 0 a ) f é contínua em 0 ? b ) Ache lim x → + ∞ ⁡ f x , se existir.
Determine os valores de n para os quais a seguinte integral imprópria converge. ∫ 1 + ∞ ln ⁡ x d x x n
a ) Prove que lim x → + ∞ ⁡ x n e x = 0 para todo n interiro positivo. b ) Ache lim x → 0 ⁡ e - 1 x x n Onde x0 e n é qualquer inteiro positivo, fazendo x = 1 t e usando o resultado da parte a
Calcule, se existir: a ) ∫ - ∞ + ∞ senh ⁡ x d x b ) lim r → + ∞ ⁡ ∫ - r + r senh ⁡ x d x