Seja C a curva 27x - y^3 = 0 entre y = 0 e y = 2 . Em cada parte, monte, mas não calcule, uma integral ou somas de integrais que resolvam o problema.

(a) Encontre a área da superfície gerada quando C gira em torno do eixo x por integração em relação x .

(b) Encontre a área da superfície gerada quando C gira em torno do eixo y por integração em relação a y .

(c) Encontre a área da superfície gerada quando C gira em torno da reta y = -2 por integração em relação a y .

Passo 1

Essa questão é bem simples! Vamos apenas aplicar a fórmula, que é:

S = ∫ a b 2 π y 1 + d y d x 2 d x

Para o eixo x . Agora, para o eixo y :

S = ∫ c d 2 π x 1 + d x d y 2 d y

Passo 2

Sendo y = 27 x 3 e os intervalos x = 0 a x = 0,296 , aplicando no item (a), temos:

S = ∫ 0 0 , 2 96 2 π ( 27 x 3 ) 1 + 1 x 2 3 2 d x

Para o item (b), sendo x = y 3 27 e os intervalos de y = 0 a y = 2 , temos:

S = ∫ 0 2 2 π y 3 27 1 + y 2 9 2 d y

Para o item (c), como y = - 2 será a reta, temos portanto,

S = ∫ 0 2 2 π y 3 27 - 2 1 + y 2 9 2 d y

Prontinho!!

Resposta

(a) S = ∫ 0 0,296 2 π ( 27 x 3 ) 1 + 1 x 2 3 2 d x

(b) S = ∫ 0 2 2 π y 3 27 1 + y 2 9 2 d y

(c) S = ∫ 0 2 2 π y 3 27 - 2 1 + y 2 9 2 d y

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