Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 11
Seja C a curva de interceção do cilindro parabólico e a superfície . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos disse que temos uma curva que faz a interceção entre o cilindro parabólico dado por:
E a superfície
Queremos calcular o comprimento exato de da origem até o ponto .
Para isso, precisamos saber que o comprimento de uma curva é dado pela seguinte relação:
Passo 2
Para encontrar o comprimento exato da curva, primeiramente precisamos encontrar a função vetorial .
A partir do cilindro parabólico podemos encontrar e .
Fazendo , obtemos que
Já pela equação da superfície encontramos :
Desta forma: .
Passo 3
Para a nossa curva, temos:
Os limites de integração e corresponde aos valores de no qual obtemos os pontos e .
Para , obtemos:
e
Para , obtemos:
Desta forma os limites de integração são:
e
Passo 4
Calculando as derivadas que estão dentro da raiz na integral:
Passo 5
Portanto, o comprimento da curva é: