Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana parametrizada x = f(t) , y = g(t) , é

κ = |x˙y¨ - y˙x¨| / [(x˙^2 + y˙^2)^(3/2)]

Passo 1

Olá galerinha. Tudo traquilo? Preparado para uma questão de demonstração?

No teorems 10, temos

κ = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2  

Os termos com um pontinho em cima indica o calculo da derivada primeira e quando tem dois pontinhos indica a segunda derivada. É isso!!!

Vamos descobrir as derivadas, calcular o produto vetorial e finalizamos observando se a curva gerada é a parametrização pedida no enunciado.

Bora lá!

Passo 2

O teorema 10 diz que

κ t = r ' t × r ' ' t r ' t 3

Para usá-lo, vamos ter que nossa r t = ( x , y , 0 ) , x e y , foram dados no enunciado e como é uma curva no plano, sua altura é sempre 0 .

As derivadas de funções vetoriais, são cada coordenada derivada, então.

r ' t = ( x ˙ , y ˙ , 0 )

r ' t = ( x ¨ , y ¨ , 0 )

Sendo assim,

r ' t x   r ' ' t = x ' t y ' ' t - y ' ( t ) x ' ' ( t )

Passo 3

A magnitude da velocidade é:

r ' t = x 2 ' t + y 2 ' t

Substituimos esses valores na fórmula da curvatura, paresentada no Passo 2:

κ t = r ' t × r ' ' t r ' t 3

κ t = x ' t y ' ' t - y ' t x ' ' t x ' 2 t + y ' 2 t 3

κ t = x ' t y ' ' t - y ' t x ' ' t x ' 2 t + y ' 2 t 3 / 2

Portanto, mostramos que a curvatura κ da curva plana parametrizada x = f ( t ) e y = g ( t ) é:

κ t = x ' ( t ) y ' ' ( t ) - y ' ( t ) x ' ' ( t ) x ' ² ( t ) + y ' 2 ( t ) 3 / 2

Essa fórmula nos fornece a curvatura de uma curva em termos das derivadas de suas coordenadas paramétricas.

Resposta

Através da demonstração concluímos que a curva plana parametrizada por ser representada pela equação

κ t = x ' ( t ) y ' ' ( t ) - y ' ( t ) x ' ' ( t ) x ' ² ( t ) + y ' 2 ( t ) 3 / 2

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