Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 42
Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana parametrizada , , é
Passo 1
Olá galerinha. Tudo traquilo? Preparado para uma questão de demonstração?
No teorems 10, temos
Os termos com um pontinho em cima indica o calculo da derivada primeira e quando tem dois pontinhos indica a segunda derivada. É isso!!!
Vamos descobrir as derivadas, calcular o produto vetorial e finalizamos observando se a curva gerada é a parametrização pedida no enunciado.
Bora lá!
Passo 2
O teorema 10 diz que
Para usá-lo, vamos ter que nossa , e , foram dados no enunciado e como é uma curva no plano, sua altura é sempre .
As derivadas de funções vetoriais, são cada coordenada derivada, então.
Sendo assim,
Passo 3
A magnitude da velocidade é:
Substituimos esses valores na fórmula da curvatura, paresentada no Passo 2:
Portanto, mostramos que a curvatura da curva plana parametrizada e é:
Essa fórmula nos fornece a curvatura de uma curva em termos das derivadas de suas coordenadas paramétricas.
Resposta
Através da demonstração concluímos que a curva plana parametrizada por ser representada pela equação